小球与盒子（组合数学基本模板）

Posted 2020-11-29 mitnick

小球与盒子

在离散数学里面，组合数是一个重点。下面就对常见的几个小球盒子模型进行总结

参考了chengni的这篇文章，在此表示感谢。

注意：

• 以下未说明，均默认球数为n，盒子数为m。
• (C_{n}^{m}=inom{n}{m}) ，两者是等价的。
• 从不同变为相同需要乘以阶乘而不是除

一、球相同，盒子不同，不可以有空盒

很经典的隔板法模型，相同的物品划分为几个不同的集合。设球为n，盒子为m，方案数为
[ ans= inom{n-1}{m-1} ]

二、球相同，盒子不同，允许空盒

这和上面唯一的区别就是允许空盒。不妨假设每个空盒已经被我们放了一个球，那么问题就变成了上面的情况，。所以我们可以看做自己有 n+m 个小球，然后我们在排列完之后在每一组都删去一个小球，这样就能枚举出有空盒的情况了。n个球分成m个集合等价于n+m个球分成m个非空集合。
于是答案为
[ ans= inom{n+m-1}{m-1} ]

（在这里把盒子想成集合会好想一些）

三、球不同，盒子不同，允许空盒

对于每一个球，你都可以放到1~m的任意位置，所以方案数为
[ ans= m^n ]

四、球不同，盒子相同，不可以有空盒

对于这个问题有个东西叫做第二类斯特林数。

在数学上，斯特林数有两类，本文只介绍第二类。

第二类斯特林数（(S2[n][m])）的含义：n 个不同的小球放入m个相同的盒子中（且盒子不能为空）的方案数 。它有个递推公式(S2[i][j]=S2[i-1][j] imes j+S2[i-1][j-1])

我们可以这样理解：

1. 如果(i-1)个元素已经构成了(j-1)个集合，那么第(i)个元素单独构成一个集合的方案数为(S2[i-1][j-1] imes 1)（空的集合都是无序相同的，任选一个即可）；
2. 如果(i-1)个元素已经构成了(j)个集合，将第(i)个元素插入到任一个集合中的方案数为(S2[i-1][j] imes j)（选择(j)个集合中的一个有(j)种选法）。

（在这里把盒子想成集合会好想一些）

当然，第二类斯特林数还有另一个公式，需要用到容斥。
[ S2[n][m]=frac{1}{m!} imes sum^{m}_{k=0}(-1)^k inom{m}{k} imes (m-k)^n ]
证明：


为了方便，不妨假设(A_i)表示第(i)个盒子为空的情况。总方案数为(S)，则有
[ S=m^n \ A_i=(m-1)^n ]
(A_i)：对于每个球，都只有(m-1)种选择。所以是((m-1)^n)。
[ A_1+A_2+A_3+A_4+cdots+A_m=sum_{i=1}^{m}A_i=m(m-1)^n=inom{m}{1}cdot(m-1)^n ]
这一个盒子为空的情况，但同时也包含了两个盒子为空的。两个盒子为空的方案数如下
[ sum_{i=1}^{m}sum_{j>i}(A_icap A_j)=inom{m}{2}cdot(m-1)^n ]

如此推导下去，就可以得出所求第二类斯特林数：
[ S2[i][j]=|ar{A_1}capar{A_2}capcdotscapar{A_m}|\=m^n-sum_{i=1}^{m}|A_i|+sum_{i=1}^{m}sum_{j>i}(A_icap A_j)-cdots+(-1)^{m}|A_1cap A_2capcdotscap A_m|=m^n+(-1)cdotinom{m}{1}cdot(m-1)^n+(-1)^2cdotinom{m}{2}cdot (m-2)^n+cdots+(-1)^kinom{m}{k}cdot(m-k)^ncdots=sum_{k=0}^{m}inom{m}{k}(m-k) ]
最后除一个 (m!) 消掉有序性，如果不除就是有序的

五、球不同，盒子不同，不可以有空盒

其实就是上一个问题的最后一句话，“如果不除就是有序的。”
[ ans=m!cdot S2[n][m]; ]

六、球不同，盒子不同，允许空盒

我们可以枚举每次有几个盒子非空，最后加起来就好了
[ ans=sum_{i=1}^{m}S2[n][i] ]

七、球相同，盒子也相同，允许空盒

设(f[i][j])表示将(i)个球放到(j)个盒子的方案数

• 当i < j 时，剩下的j-i个盒子没什么用，所以方案数为(f[i][i])

• 当i >= j 时

  • 如果将盒子放满，方案数为(f[i-j][j])
  • 如果不把盒子放满，方案数为(f[i][j-1])

然后就可以(n^2)递推了。

八、球相同，盒子也相同，无空盒

先假设每个盒子里都有一个球，所求即(ans=f[n-m][m])