模板 - 数学 - 组合数学 - 第二类斯特林数

Posted 2020-11-27 kisekipurin2019

组合意义

记 (S(n,m)) 表示，把 (n) 个不同的小球，放在 (m) 个相同的盒子里，且每个盒子至少有 (1) 个球，的方法数。

记 (S(n,m)) 表示，把 (n) 个不同的元素，划分为 (m) 个非空集合的方法数。

显然 (S(0,0)=1) ，而 (S(n,0)) 当 (ngeq 1) 时显然是不合法的方案， (S(0,m)) 当 (mgeq 1) 时因为至少有 (1) 个空盒子所以也显然是不合法的方案。

递推

(S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m))

含义是，多一个新的球，那么假如再新加一个盒子去装，显然是一种办法，否则要把这个球放在先前已有的 (m) 个盒子中的任意一个，由于新加的这个小球是全新的，所以这个和组合数的递推公式不一样。

通项

(S(n,m)=frac{1}{m!}(sumlimits_{i=0}^{m}(-1)^i*C(m,i)*(m-i)^n))