矩阵论练习2

Posted 2020-11-29 forcekeng

题目

设 (A) 是 (s imes n) 矩阵，(b) 是 (s) 维列向量。证明：

1. (Rank(A) = Rank(A^HA))
2. 线性方程组 (A^HAx = A^Hb) 恒有解
   其中 (A^H) 为 (A) 的共轭转置矩阵

证明

1. 证明 (Ax= 0) 和 (A^HA x=0) 同解即可。因为对于 (Ax=0, Ain R^(s imes n))，如果矩阵(A)秩为 (r)，则基础解系的向量个数为 (n-r)。反之，如果基础解系的向量个数相同，则 (Rank(A)) 相同。上面两个等式的解系分别记为 (S_0, S_1)。

(1) 证 (x in S_0 ightarrow xin S_1)

[ecause x in S_0, it‘s Ax = 0, herefore A^HAx = A^H(Ax) = 0 ]

(2) 证 (x in S_1 ightarrow x in S_0)

[ ecause x in S_1, it‘s A^H Ax = 0, herefore x^H (A^H A x) = 0 x^H(A^H A x) = (Ax)^H (Ax) = 0 herefore Ax = 0 ]

2. 证明 (Rank(A^H A) = Rank(A^H A, A^H b)) 即可。通过证明 (Rank(A^H A) le Rank(A^H A, A^H b)) 和 (Rank(A^H A) ge Rank(A^H A, A^H b)) 证明。

(1) 证 (Rank(A^H A) le Rank(A^H A, A^H b))
因为不等式右面是左面的增广矩阵，所以上面不等式成立。

(2) 证 (Rank(A^H A) ge Rank(A^H A, A^H b))

[Rank(A^H A) = Rank(A)Rank(A^H A, A^H b) = Rank(A^H( A, b)) le Rank(A^H) = Rank(A) \]

证毕。