矩阵论练习14（不变子空间）

Posted 2021-02-19 forcekeng

定义

设 (fin Hom(V,V)),(Wle V)。若 (forall etain W)，有 (f(eta)in W)，则称 (W) 是 (f) 的不变子空间。
例如：设 (fin Hom(V,V)),(Wle V)，则 (R(f),K(f)) 均是 (f) 的不变子空间。

题目

设 (fin Hom(V,V))，且 (f^2=f)。证明：(f) 在 (V) 的任意基下的矩阵均相似于 (left [egin{matrix} I& OO& O end{matrix} ight ]).

解答

由于同一个空间下的所有基都是相似的，所以只需证明 (V) 有一个基是 ([I,O;O,O]) 即可。
令 (V_1={etain V|f(eta)=eta})，(V_2={etain V|f(eta)= heta})。则 (V=V_1oplus V_2)。为了证明这个结论，

1. 证 (V_1cap V_2= heta)，对于 (eta) 满足 (f(eta)=eta, f(eta)= heta) 要同时满足，则易得 (eta= heta)。
2. 证 (V=V_1+V_2)，易证 (V_1+V_2subseteq V)，下面证 (Vsubseteq V_1+V_2)。任取 (etain V)，写做 (eta = f(eta)+(eta - f(eta)))，则由 (f(f(eta))=f(eta)) 得 (f(eta)in V_1)；
   又由 (f(eta-f(eta))=f(eta)-f(f(eta)) = heta) 得 ((eta-f(eta))in V_2)，则 (Vin V_1+V_2)。

综上，(V=V_1+V_2)。
在 (V_1) 选一组基 ([e_1,cdots,e_r])，在 (f) 映射成 ([e_1,cdots,e_r]) ,保持不变。在 (V_2) 内选一组基 ([e_{r+1},cdots,e_s])，每个基在 (f) 下都映射成 ( heta)。则根据变换矩阵的定义，有

[[f(e_1),cdots,f(e_s)]=[e_1,cdots,e_s]left [ egin{matrix} 1 & 0 & 0 & cdots & 0\cdots& cdots& cdots& cdots & 0 & cdots & 1 &cdots & 0 \cdots& cdots& cdots& cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix} ight ] = left [ egin{matrix} I & OO & O end{matrix} ight ] ]

证毕！