矩阵论练习4（满秩分解）

Posted 2020-12-15 forcekeng

题目

假设 (s imes n)矩阵 (A) 的秩为 (r) ， 证明踩在 $s imes r $ 矩阵 B 及 (r imes n) 矩阵 (C) ，使得 (A=BC) 。

证明

可以证明矩阵 (B),(C) 的秩均为 (r)，其实 (r=R(A)=R(BC)le R(B),R(C) le r), 易得 (R(B)=R(C)=r), 用到了两个相乘矩阵的积小于等于两个因数的秩，以及矩阵的秩不会超过行数或列数。
考虑一种特殊情形，如果 (A) 如下，则可以拆分成两个秩为 (r) 的矩阵

[A = left [ egin{matrix} I_r & OO & O\end{matrix} ight ] = left [ egin{matrix} I_r O \end{matrix} ight ] left [ egin{matrix} I_r & O\end{matrix} ight ] ]

另一方面，任意一个秩为 (r) 的矩阵 (A)，都可以经过有限次初等变换，变成上面考虑的左上角为单位阵的简单形式。即

[A = P left [ egin{matrix} I_r O \end{matrix} ight ] left [ egin{matrix} I_r & O\end{matrix} ight ] Q \therefore B = P left [ egin{matrix} I_r O \end{matrix} ight ] C = left [ egin{matrix} I_r & O\end{matrix} ight ] Q ]

上述 (B,C) 满足要求，其实 (B,C) 的取值有很多种。对于证明本题，已经完成了。但在实际应用中，如何确定 (P,Q)? 有没有办法直接求解 (B,C)? 其实是有的。把 (A=BC) 写成：

[left [ egin{matrix} alpha_1 & alpha_2 & cdots & alpha_n\end{matrix} ight ] = left [ egin{matrix} eta_1 & eta_2 & cdots & eta_r\end{matrix} ight ] left [ egin{matrix} c_{11} & c_{12} & cdots & c_{1n}c_{21} & c_{22} & cdots & c_{2n}\vdots & cdots & cdots & vdotsc_{r1} & c_{r2} & cdots & c_{rn}\end{matrix} ight ] ]

可以看出，(A) 的其中一列，是 (B) 的各列的线性组合，因此可以选 (B) 为 (A) 中的一组极大无关线性组，然后用 (B) 的各列表示出 (A) 的各列，组合的系数就构成了 (C)。