4.4 满秩分解

Posted 2023-02-01 醒过来摸鱼

原理

  任意矩阵都有满秩分解Full rank factorization。也就是说不限于方阵，更不限于满秩矩阵。满秩分解用途很广，尤其是后期的对于广义逆的学习来说非常重要。
  首先要搞清楚什么是满秩分解full rank factorization，假设矩阵为$A$,它的秩为$r$，满秩分解就是分解为如下两个矩阵相乘：
$$A^{m\times n}=B^{m\times r}{C}^{r\times n}$$
  要求就是B和C的秩都是$r$，也就是说$B$是列满秩，$C$是行满秩。
  那么怎么进行满秩分解呢？只需要用到初等含变换就行了。将矩阵通过初等行变换变成拟Hermite标准型H。那么问题来了，什么是拟Hermite标准型ansi Hermite canonical form？拟埃尔米特标准型的意思是第r行以下全是0，并且存在r列，这r列是单位矩阵的列。如果这r列的组成单位矩阵是顺序的，那么就是埃尔米特标准型。
  得到了拟埃尔米特标准型H之后，H的前r行就是B矩阵，原矩阵组成单位矩阵的列，按单位顺序排好就是C矩阵。满秩分解就完成了，所以也挺简单的。

举例

  我们以一个$4\times 5$矩阵开始：
$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{ccccc}3& 1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 2\\ 1& -1& -1& 2& -1\\ 7& 2& 0& 0& 3\end{array}\right) \\ \sim \left(\begin{array}{ccccc}1& \frac{1}{3}& 0& -\frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ 0& 1& 1& 0& 2\\ 0& -\frac{4}{3}& -1& \frac{7}{3}& -\frac{4}{3}\\ 0& -\frac{1}{3}& 0& \frac{7}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right) \\ \sim \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\\ 0& 1& 1& 0& 2\\ 0& 0& \frac{1}{3}& \frac{7}{3}& \frac{4}{3}\\ 0& 0& \frac{1}{3}& \frac{7}{3}& \frac{4}{3}\end{array}\right) \\ \sim (\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\\ 0& 以上是关于4.4\; 满秩分解的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章\end{array} \end{gathered}$$

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