矩阵论练习11（线性映射的矩阵）
Posted forcekeng
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了矩阵论练习11（线性映射的矩阵）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
定义
设 (fin Hom(V,U))。选定基偶：
[V:alpha_1,cdots,alpha_s U:eta_1,cdots,eta_n
]
若 ((f(alpha_1),cdots,f(alpha_s))=(eta_1,cdots,eta_n)A) ，则称 (A) 是 (f) 在选定基偶下的矩阵。
(fin Hom(V,U)) 代表 (f:V
ightarrow U) 是一个线性映射。
如果 (U=V)，那可以把基取得一样。如果有
[(f(alpha_1),cdots,f(alpha_s))=(alpha_1,cdots,alpha_s)A
]
则称 (A) 是线性变换 (f) 在所选基下的矩阵。
题目
(fin Hom(F^{2 imes 2}, F^{2 imes 2})) 定义为：
[f(X) = left (
egin{matrix}
a-3b & b+2c a-b-c & a+b-3c+4d
end{matrix}
ight )
]
其中，(f(X) = left (
egin{matrix}
a & b c & d
end{matrix}
ight )
in F^{2 imes 2}),
求 (f) 在基 (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}) 下的矩阵。
解答
按照定义搭好框架，一步一步来即可。为了书写方便，矩阵采用Matlab写法，即不同行用分号隔开。
定义域中基 (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}),代入 (f(X))，得
[f(E_{11})=[1 0;1 1]f(E_{12})=[-3 1;-1 1] f(E_{21})=[0 2;-1 -3]f(E_{22})=[0 0;0 4]
]
因此，
[(f(E_{11}),f(E_{12}),f(E_{21}),f(E_{22}))=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}) left ( egin{matrix}
1 & -3 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 1 & -1 & -1& 0 1 & 0 & -3 & 4
end{matrix}
ight )
]
右方即为所求的矩阵，记为 (A)。(A) 的每一列通过把 (E_{11},cdots,E_{22}) 进行线性组合得到一个 (f) 的变换。
以上是关于矩阵论练习11（线性映射的矩阵）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章