矩阵论练习5（线性空间）

Posted 2020-12-15 forcekeng

题目

定义空间 (V = R^+)，域 (F=R)
定义新的运算：

[oplus: alpha,eta in V, alphaoplus eta = alphaeta \circ: alpha in V, kin F, kcirc alpha = alpha^k ]

证明 (V) 在域 (F) 上是线性空间。

证明

1. (alphaopluseta = etaoplusalpha)
2. ((alphaopluseta)oplusgamma = alphaoplus(etaoplusgamma))
3. (exists heta=1in V, forall alpha in V, alphaoplus heta=alpha)
4. (forall alphain V, exists eta=frac{1}{alpha}in V, alphaopluseta=1= heta)
5. (forall alphain V,exists 0in F, 0circ alpha=alpha)
6. (forall alphain V,l,kin F, kcirc(lcircalpha)=(kl)circ(alpha)=alpha^{kl})
7. (forall alphain V, l,kin F,(koplus l)circalpha = kcircalphaoplus lcircalpha=alpha^{k+l})
8. (forall alpha,etain V, kin F, kcirc(alphaopluseta)=kcircalphaoplus kcirceta=(alphaeta)^k)

以上等式满足线性空间的定义，所以 (V) 是数域 (F) 上的线性空间。