矩阵论练习12（线性映射的坐标变换证明）

Posted 2020-12-19 forcekeng

定理一

若 (fin Hom(V,U)) 在基偶 (V:a_1,cdots,a_s); (U:b_1,cdots,b_n) 下的矩阵是 (A),(etain V) 在 (a_1,cdots,a_s) 的坐标是 (X)，则 (f(eta)) 在基 (b_1,cdots,b_n) 下的坐标是 (AX)。

定理二

若 (fin Hom(V,U)) 在基偶 (V:a_1,cdots,a_s); (U:b_1,cdots,b_n) 下的矩阵是 (A)。则 (f) 在新的基偶

[(a_1‘,cdots,a_s‘)=(a_1,cdots,a_s)P(b_1‘,cdots,b_n‘)=(b_1,cdots,b_n)Q ]

下的矩阵是

[B = Q^{-1}AP ]

特别地，若 (fin Hom(V,V)) 在基 (a_1, cdots, a_s) 下的矩阵是 (A)，则 (f) 在新的基下的矩阵是 (B = P^{-1}AP).

定理一证明

根据描述，(eta = (a_1,cdots,a_s)X)，因为 (f) 是线性映射，则 (f(eta)=f((a_1,cdots,a_s)X)=f(a_1,cdots,a_s)X=(b_1,cdots,b_n)AX=(b_1,cdots,b_n)(AX))，证毕！
理解的关键在于 (a_i) 和 (b_i) 都是基， (X) 是坐标(一列)，则((a_1,cdots,a_s)X) 的是对基 ((a_1,cdots,a_s)) 的线性组合。(A) 也一样，每一列对 ((b_1,cdots,b_n)) 进行线性组合。

定理二证明

根据描述，要证明的内容是：

[f((a_1‘,cdots,a_s‘))=(b_1‘,cdots,b_n‘)BB = Q^{-1}AP ]

首先看 (f(a_i‘)) , (a_i‘=(a_1,cdots,a_s)P_i)，其实 (P_i) 是 (P) 的第(i)列，看做是 (a_i) 的坐标。根据定理一，(f(a_i‘)=(b_1,cdots,b_n)AP_i)，则 (f(a_1,cdots,a_s)=(b_1,cdots,b_n)AP)。
再根据 ((b_1‘,cdots,b_n‘)=(b_1,cdots,b_n)Q)，这里把 (Q) 看成两个基的过渡矩阵，求逆带入上面，即可得证。

题目

求线性变换 (f:F_3[x] ightarrow F_3[x]),(f(p(x))=p‘(x)),(forall p(x)in F_3[x]) 在基 (p_1(x)=1+x+3x^2, p_2(x)=1+x, p_3(x)=1+2x-x^2) 下的矩阵。

解答

方法一看起来比较简单：
([f(p_1(x),f(p_2(x)),f(p_3(x))] = [p_1(x),p_2(x),p_3(x)]A)
左边求出多项式，解方程组求出 (A) 即可。

方法二更简单：
在定义域内取基 (1_v,x_v,x^2_v)，下标 (V) 说明是在定义域内。在值域内取基 (1_u,x_u,x^2_u) ，（下标 (u,v) 仅仅是为了方便理解，其实是一样的）
则 ([f(1_v),f(x_v),f(x^2_v)]=[1_u,x_u,x^2_u] left ( egin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 end{matrix} ight ) )
右方的数字构成的矩阵即是矩阵 (A)。下面求 (P,Q)，易得

[P = I_3Q = left ( egin{matrix} 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 3 & 0 & -1 end{matrix} ight ) ]

则所求的变换矩阵即为 (Q^{-1}AP)。