区间dp

Posted 2020-11-26 holaworld

区间dp：在区间上进行动态规划，求解一段区间上的最优解。主要是通过合并小区间的最优解进而得出整个大区间上最优解的dp算法。
（此句抄袭这里：https://blog.csdn.net/qq_40772692/article/details/80183248）

例题：石子合并

【问题描述】
将n(1≤n≤200)堆石子绕圆形操场摆放，现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的两堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。选择一种合并石子的方案，使得做n-1次合并，得分的总和最大。
【样例输入】
4
4 5 9 4
【样例输出】
54

解：

1.破环成链

stone[i]=stone[i+n]
stone[1]=4, stone[2]=5, stone[3]=9, stone[4]=4,
stone[5]=4, stone[6]=5, stone[7]=9, stone[8]=4

2.前i堆石子的总和

sum[i]=sum[i-1]+stone[i]
sum[1]=4, sum[2]=9, sum[3]=18, sum[4]=23,
sum[5]=27, sum[6]=32, sum[7]=41, sum[8]=45

3.第i堆与第j堆合并的总和dp[i][j]

dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]
max_dp[i][j]=max(dp[i][k]+dp[k+1][j])+sum[j]-sum[i-1]

区间长度len=2

		4	5	9	4	4	5	9	4
		1	2	3	4	5	6	7	8
4	1	0	9
5	2		0	14
9	3			0	13
4	4				0	8
4	5					0	9
5	6						0	14
9	7							0	13
4	8								0

区间长度len=3

		4	5	9	4	4	5	9	4
		1	2	3	4	5	6	7	8
4	1	0	9	32
5	2		0	14	32
9	3			0	13	30
4	4				0	8	22
4	5					0	9	32
5	6						0	14	32
9	7							0	13
4	8								0

dp[1][3]=dp[1][1]+dp[2][3]+sum(1~3) = 0 +14+(4 +5 +9 ) =32
dp[2][4]=dp[2][3]+dp[4][4]+sum(2~4) = 14+0 +(5 +9 +4 ) =32
……

区间长度len=4=n

		4	5	9	4	4	5	9	4
		1	2	3	4	5	6	7	8
4	1	0	9	32	54
5	2		0	14	32	*
9	3			0	13	30	*
4	4				0	8	22	*
4	5					0	9	32	*
5	6						0	14	32
9	7							0	13
4	8								0

dp[1][1]+dp[2][4]=0 +32=32
dp[1][2]+dp[3][4]=9 +13=22
dp[1][3]+dp[4][4]=32+0 =32
dp[1][4]=dp[1][1]+dp[2][4]+sum(1~4) = 0 +32+(4 +5 +9 +4 ) =54
……

dp[i][i+n-1]，即区间长度为n，中的最大值就是最大总和

参考：https://www.e-learn.cn/content/qita/2729139