区间DP

Posted 2022-10-08 xiaoyezi-wink

 

区间DP

区间dp状态设计的一般形式
?区间dp一般就是设dp[i][j]表示区间[i,j]所能形成的最优答案或者方案数。
?或者像序列一样，多加几维表示附加的信息 

 

>最简单的区间dp：合并石子
?有n堆石子，每次只能合并相邻的两堆石子，并且消耗相邻两堆石子个数
的体力值，问最少消耗多少体力值将n堆石子合并为1堆。
? N<=100

 >Solution

? dp[i][j]表示将区间[i,j]这段区间内的石子合并为1堆的最小体力值。
?答案就是dp[1][n]。
?转移，考虑对于区间[i,j]它一定是由两段区间[i,k]， [k+1,j]合并成的,所以转
移就考虑枚举[i,j]区间内的一个分割点k转移即可。
? dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j] | i<=k<j)+sum[i,j]。 

 

 

 >poj3280
?给你长度为m的字符串，其中有n种字符，每种字符都有两个值，分别是
插入这个字符的代价，删除这个字符的代价，让你求将原先给出的那串
字符变成一个回文串的最小代价。
? M<=2000 

  >Solution

 ? dp[i][j]代表区间i到区间j成为回文串的最小代价，那么对于dp[i][j]有三种
情况：
? 1、 dp[i+1][j]表示区间i到区间j已经是回文串了的最小代价，那么对于s[i]
这个字母，我们有两种操作，删除与添加，对应有两种代价，
dp[i+1][j]+add[s[i]]或dp[i+1][j]+del[s[i]]，取这两种代价的最小值。
? 2、 dp[i][j-1]表示区间i到区间j-1已经是回文串了的最小代价，那么对于s[j]
这个字母，同样有两种操作， dp[i][j-1]+add[s[j]]或dp[i][j-1]+del[s[j]]，取最
小值。 

 ? 3、若是s[i]==s[j]， dp[i+1][j-1]表示区间i+1到区间j-1已经是回文串的最小代

价，那么对于这种情况，我们考虑dp[i][j]与dp[i+1][j-1]的大小
? 然后dp[i][j]取上面这些情况的最小值即可。 

 

 

>括号最大匹配
?给你一串 ( ) [ ] 括号，要你求出这串括号的最大匹配个数，如 ‘(‘ 与 ‘)‘ 匹配，为
2个， ‘[‘ 与 ‘]‘ 匹配，为2个，其他不能匹配.......
?允许有杂质即( [ ( [ ] ] ) ] 应该是 [ ( [ ] ) ]//去掉杂质
?就是选出一个最长合法子括号序列。
?序列的长度小于等于100。 

   >Solution

 ? dp[i][j]代表从区间i到区间j所匹配的括号的最大个数，首先，假设不匹配，
那么dp[i][j]=dp[i+1][j]；
?然后查找i+1~~j有木有与第i个括号匹配的，
?有的话， dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][k-1]+dp[k][j]+2)//其中c【i】 与c【k】匹配 

?为什么和上一题不一样？
?因为()()()()….而非仅仅是(((()))) ，上一题要求回文串

 

>bzoj1900 （P4302 [SCOI2003]字符串折叠）

?折叠的定义如下：
? 1. 一个字符串可以看成它自身的折叠。
? 2. X(S)是X(X>1)个S连接在一起的串的折叠。记作X(S) = SSSS…S(X个S)。
? 3. 如果A = A’, B=B’，则AB =A’B’ 例如，因为3(A) = AAA, 2(B) = BB，所以
3(A)C2(B) = AAACBB，而2(3(A)C)2(B)=AAACAAACBB
?给一个字符串，求它的最短折叠。例如AAAAAAAAAABABABCCD的最短折
叠为： 9(A)3(AB)CCD。
?输入字符串长度小于等于100。 

  >Solution

? f[l][r]表示，把l~r这个区间折叠的最短长度，然后我们想，对于一个区间
来说，我们有两种选择，一种是把这个区间它自己来折叠，另一种是两
块已经折叠的区间接起来。
?对于第二种情况，直接枚举断点（区间dp中很常见），找最小的一种方
案，第一种则是，找出它所有的折叠方案，在折叠方案中取一个最优的。

 

 

?思路的整理类比和分析：整体的思路都是对于一段区间，两类决策
? 1：枚举端点，由子问题更新的最优决策。
? 2：该区间本身进行压缩（进行处理）的最优决策。 

 

 

区间dp两类主要的转移套路 

?一般n=1000的区间dp问题，由于状态就是二维的了，转移一般都是O(1)，
dp转移过程中主要考虑就是L和R两个边界的情况，正如之前的2道题。
?而n=100的区间dp，除了边界往往还要枚举这个区间从哪个位置划分。
?不能说一定是这样，但是绝对是一个很好的思考方向。看数据范围猜算
法。 

 

 

 

区间DP处理环形问题

>环形问题
? 环形问题有一个很常见的处理办法是，断环为链，然后把这个链复制一
遍接在原链的后面。
? 然后做区间dp，最后取答案就是找dp[i][i+n-1]里面取最优的即可。 

 

 

>能量项链
?在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标
记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标
记一定等于后一颗珠子的头标记。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标
记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为
m×r×n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。
?需要时， Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直
到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是
不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。
? N<=100 

  >Solution

在读入的时候现将珠子们复制一遍放到后面，断环成链
?设f[j][i]表示左端点为j号珠子，右端点为i号珠子的区间所能得到的最大能
量，转移就枚举最后一步聚合的位置即可。

? Ans= 

 

 

 

>某经典题
?给定n堆石子a[i]，排列成一个环，每次可以消去一堆石子，代价是这堆石
子两边石子数的最大公约数，直到最后只剩两堆时，代价为这两堆石子
数的最大公约数，这两堆石子直接消除。请问消去所有石子的最小代价
是多少。
? n<=100

 >Solution

?首先也是断环成链，同时倍长一下。
?然后设dp[i][j]表示区间[i+1,j-1]全部消掉的最小代价是多少，剩下a[i]和a[j]，
枚举最后一次消掉的数转移即可。

? dp[i][i+1]=0.
?最后只需要枚举剩下的两个珠子x、 y即可，取dp[x][y]+dp[y][x+n]的最大值
即可 

 

 

总结