区间DP

Posted 2020-12-06 125418a

内容参考书籍《算法竞赛入门到进阶》

区间DP就是先在小区间进行DP，然后合并小区间，得到大区间，直到解决最后的大区间问题。相较于普通的DP问题，它不仅需要状态转移方程还需要枚举所有可能的区间。

通常情况下，区间DP至少需要两层for循环，例如：

	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
		for (int j = i; j <= n; ++j)
		{
			...
		}
	}

　　下面引入两个经典问题：

1.石子合并：有n堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量，将这n堆石子合成一堆，每次只能合并相邻的两堆，合并花费为两堆石子总数，求最小花费。

输入：

3
2 4 5

输出：

17

计算过程为：一：2+4=6，二：6+5=11，三：6+11=17，故答案为17。

设dp[i][j]为从第i堆石子到第j堆石子的最小花费，那么答案为dp[1][n]。另外，设sum[i][j]为从第i到j的区间和。

那么合并两堆，例如dp[1][2],是指合并1-2，就有dp[1][2] = dp[1][1] + dp[2][2] + sum[1][2],也即是dp[i][i+1] = dp[i][i] + dp[i+1][i+1] + sum[i][i+1]

合并三堆，例如dp[1][3],则有两种情况，先合并1-2再3，或者先2-3再1，即dp[1][3] = min(dp[1][1] +dp[2][3], dp[1][2] + dp[3][3])+sum[1][3]。

也即是dp[i][i+2] = min(dp[i][i]+dp[i+1][i+2] , dp[i][i+1] + dp[i+2][i+2])+sum[i][i+2]。

推广:dp[i][j] = min(dp[i][k]+dp[k+1][j])+sum[i][j-i+1]。

代码如下：

(后续代码明天写)