HDU 5115 Dire Wolf(区间dp)

Posted jpphy0

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了HDU 5115 Dire Wolf(区间dp)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

问题

HDU 5115 Dire Wolf - https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5115

概述

  • 方法:区间dp
  • 对于一个区间 [ l , r ] [l,r] [lr],设最后打败的编号是 k ( l ≤ k ≤ r ) k (l\\leq k \\leq r) k(lkr),则问题可以分解为两个子问题,即 [ l , k − 1 ] [l,k-1] [lk1] [ k + 1 , r ] [k+1,r] [k+1r],因此遍历 k k k 后即得区间 [ l , r ] [l,r] [lr] 的解

4维状态设计

分析

  • d p [ L ] [ l ] [ r ] [ R ] dp[L][l][r][R] dp[L][l][r][R]:当区间 [ l , r ] [l,r] [lr] 的左、右邻居是 L L L R R R 时,打败这个区间内的狼需要的最小能量
  • 为什么是 4 4 4 维的状态空间?
  • 因为区间 [ l , r ] [l,r] [lr] 需要的最小能量与 L 、 R L、R LR 有关,也就是说若只考虑 l 、 r l、r lr ,则不具有“无后效性”
  • [ l , k − 1 ] [l,k-1] [lk1] [ k + 1 , r ] [k+1,r] [k+1r] 区间内的狼被打败后, L , k , R L,k,R LkR 相邻,此时要打败 k k k需要的能量为:
b[L] + a[k] + b[R]
  • 状态转移方程为
dp[L][l][r][R] = min(dp[L][l][r][R], dp[L][l][k-1][R] + b[L] + a[k] + b[R] + dp[L][k+1][r][R]);
  • 时间、空间复杂度是: O ( n 4 ) O(n^4) O(n4)

代码

/* HDU 5115 Dire Wolf, 4维dp */
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MXN = 55; // 210;
const int inf = 0x7f7f7f7f;
int n, a[MXN], b[MXN], dp[MXN][MXN][MXN][MXN];
int dfs(int L, int l, int r, int R){
	int &DP = dp[L][l][r][R];
	if(DP < inf) return DP;
	int x, y;
	for(int i = l; i <= r; ++i){
		x = l <= i-1 ? dfs(L, l, i-1, i) : 0;
		y = i+1 <= r ? dfs(i, i+1, r, R) : 0;
		DP = min(DP, x + b[L] + a[i] + b[R] + y);
	}
	return DP;
}
int main(){
	int t;
	scanf("%d", &t);
	while(t--){
		scanf("%d", &n);
		memset(dp, 0x7f, sizeof dp);
		for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", a+i);
		for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", b+i);
		b[0] = b[n+1] = 0;
		printf("%d\\n", dfs(0, 1, n, n+1));
	}	
    return 0;
}

2维状态设计

分析

  • 对于区间 [ l , r ] [l,r] [lr],它的左邻居 L L L 总有 L = l − 1 L=l-1 L=l1,右邻居 R R R 总有 R = r + 1 R=r+1 R=r+1,在4维状态设计的代码中清晰的体现了这一点
  • 首先,在 dfs 调用入口,满足 L = l − 1 , R = r + 1 L = l -1,R = r + 1 L=l1R=r+1
dfs(0, 1, n, n+1)
  • 其次,在 dfs 的递归定义中,因调用入口满足 L = l − 1 , R = r + 1 L = l -1, R = r + 1 L=l1R=r+1,所以递归调用时也满足
int dfs(int L, int l, int r, int R){ // 调用入口满足:L = l -1, R = r + 1
	int &DP = dp[L][l][r][R];
	if(DP < inf) return DP;
	int x, y;
	for(int i = l; i <= r; ++i){
		x = l <= i-1 ? dfs(L, l, i-1, i) : 0; // L = l - 1, i = (i - 1) + 1
		y = i+1 <= r ? dfs(i, i+1, r, R) : 0; // i = (i + 1) - 1, R = r + 1
		DP = min(DP, x + b[L] + a[i] + b[R] + y);
	}
	return DP;
}
  • 因此,4维状态设计 可以优化为 2维状态设计

代码

/* HDU 5115 Dire Wolf, 2维dp */
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MXN = 210;
const int inf = 0x7f7f7f7f;
int n, a[MXN], b[MXN], dp[MXN][MXN];
int dfs(int l, int r){
	int &DP = dp[l][r];
	if(DP < inf) return DP;
	if(l > r) return DP = 0;
	for(int i = l; i <= r; ++i)
		DP = min(DP,dfs(l,i-1)+b[l-1]+a[i]+b[r+1]+dfs(i+1,r));
	return DP;
}
int main(){
	int t, T = 0;
	scanf("%d", &t);
	while(t--){
		scanf("%d", &n);
		memset(dp, 0x7f, sizeof dp);
		for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", a+i);
		for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", b+i);
		b[0] = b[n+1] = 0;
		printf("Case #%d: %d\\n", ++T, dfs(1, n));
	}	
    return 0;
}

随机序 ⇒ \\Rightarrow 区间序 ⇒ \\Rightarrow dfs序

随机序

  • 设有共有10只狼,有6只狼被打败,且先后序为: 2 7 4 9 5 8 2\\quad 7\\quad 4\\quad 9\\quad 5\\quad 8 274958

区间序

  • 交换不相邻的区间内的狼的序不影响结果
  • 被打败的狼分布在 3 3 3 个独立的连续的区间中,分别是 [ 2 , 2 ] 、 [ 4 , 5 ] 、 [ 7 , 9 ] [2,2]、[4,5]、[7,9] [22][45][79]
    • [ 2 , 2 ] [2,2] [22] 内,狼被打败的序为: 2 2 2
    • [ 4 , 5 ] [4,5] [45] 内,狼被打败的序为: 4 5 4\\quad 5 45
    • [ 7 , 9 ] [7,9] [79] 内,狼被打败的序为: 7 9 8 7\\quad 9\\quad 8 798
    • 若按照区间优先的原则,将打狼次序调整为: 2 4 5 7 9 8 2\\quad 4\\quad 5\\quad 7\\quad 9\\quad 8 245798,易证所需能量最小值不变

dfs序

  • 一个区间的随机序对应了一个 dfs 序
  • 上述例子中,在 [ 7 , 9 ] [7,9] [79] 内的打狼 7 9 8 7\\quad 9\\quad 8 798,对应了dfs后序遍历
  • 再如: 设有共有10只狼,10只狼被打败的序为: 10 2 7 4 9 5 8 1 3 6 10 \\quad 2\\quad 7\\quad 4\\quad 9\\quad 5\\quad 8 \\quad 1\\quad 3\\quad 6\\quad 10274958136