[HAOI2015] 数字串拆分 - dp,矩阵乘法
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了[HAOI2015] 数字串拆分 - dp,矩阵乘法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
有一个长度为 (n) 的数字串,定义 (f(S)) 为将 (S) 拆分为若干个 ([1,m]) 的数的和的方案数。现在,你可以将这个数字串分割为若干个数字(允许前导 (0))并相加,求所有方案的 (f) 的和。 (n leq 500, m leq 5)
Solution
设 (f[i]) 为 (i) 的拆分数,那么显然有 (f[i]=sum_{j=1}^m f[i-j])
显然这个玩意可以用矩阵来转移,构造向量 (v_i=(f[i],f[i-1],dots,f[i-m])^T),则可设
[
A=egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & dots & 1 1 & 0 & 0 & dots & 0 & 1 & 0 & dots & 0 \dots & dots & dots & dots & dots & 0 & 0 & dots & 0
end{bmatrix}
]
于是转移方程可以被描述为 (v_i=Av_{i-1}),进一步地,(v_n=A^nv_0),其中 (v_0=(1,0,dots,0)^T)
我们可以预处理出 (P[i][j]=A^{icdot 10^j}),那么现在对于串 (a_i),它的 (A^S=prod_{i=1}^k P[a_i][k-i])
设 (g[i]) 表示对字符串处理到 (i) 位置的方案对应的矩阵相加,那么答案就是 (g[n]) 的第一行第一列,而 (g[0]=I),考虑转移
[
egin{aligned}
g[i]&=sum_{j=0}^{i-1} g[j]cdot A^{s[j+1,i]}
end{aligned}
]
而 (A) 的次幂项可以倒着递推,即
[
A^{s[j,i]}=A^{s[j+1,i]} P[s_j][i-j]
]
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 998244353;
const int N = 505;
struct matrix {
int a[7][7]={};
int n,m;
void print() {
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=m;j++) {
cout<<a[i][j]<<", ";
}
cout<<endl;
}
}
};
matrix I(int n) {
matrix ret;
ret.n=n;
ret.m=n;
for(int i=1;i<=n;i++) ret.a[i][i]=1;
return ret;
}
matrix operator * (matrix a, matrix b) {
matrix ret;
ret.n = a.n;
ret.m = b.m;
for(int i=1;i<=ret.n;i++) {
for(int j=1;j<=ret.m;j++) {
for(int k=1;k<=a.m;k++) {
ret.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];
ret.a[i][j] %= mod;
ret.a[i][j] += mod;
ret.a[i][j] %= mod;
}
}
}
return ret;
}
matrix operator + (matrix a, matrix b) {
matrix ret;
ret.n = a.n;
ret.m = a.m;
for(int i=1;i<=ret.n;i++) {
for(int j=1;j<=ret.m;j++) {
ret.a[i][j] = (a.a[i][j] + b.a[i][j] + mod) % mod;
}
}
return ret;
}
int n,m;
char s[N];
matrix p[12][N],g[N],a[N][N];
signed main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>s+1;
n=strlen(s+1);
for(int i=1;i<=n;i++) s[i]-='0';
cin>>m;
p[0][0]=I(m);
p[1][0].n=m;
p[1][0].m=m;
for(int i=1;i<=m;i++) p[1][0].a[1][i]=1;
for(int i=2;i<=m;i++) p[1][0].a[i][i-1]=1;
for(int j=0;j<=n;j++) {
p[0][j]=I(m);
if(j>0) p[1][j]=p[9][j-1]*p[1][j-1];
for(int i=2;i<=9;i++) p[i][j]=p[i-1][j]*p[1][j];
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
a[i+1][i]=I(m);
for(int j=i;j>=1;--j) a[j][i]=a[j+1][i]*p[s[j]][i-j];
}
g[0]=I(m);
for(int i=1;i<=n;i++) {
g[i].n=g[i].m=m;
for(int j=0;j<i;j++) {
g[i]=g[i]+g[j]*a[j+1][i];
}
}
cout<<g[n].a[1][1];
}
以上是关于[HAOI2015] 数字串拆分 - dp,矩阵乘法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
JZYZOJ 1542 [haoi2015]str 矩阵乘法 dp
hdu5318 The Goddess Of The Moon (矩阵高速幂优化dp)