约瑟夫环以及其变种集合

Posted 2020-11-26 vikyanite

最近在CF上补题，补到了一道关于约瑟夫环的题目（听都没听过，原谅我太菜）

就去好好学了一下，不过一般的题目应该是不会让你模拟过的，所以这次就做了一个约瑟夫环公式法变形的集合。

关于约瑟夫环的基础讲解，我个人认为最好的就是这篇了。

 

首先是最原始的约瑟夫环的题目：

https://vjudge.net/problem/51Nod-1073（小数据规模）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int n, m;
    int s = 0;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        s = (s + m) % i;
    cout << s + 1 << endl;
    return 0;
}

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没啥好讲的直接套公式即可。

https://vjudge.net/problem/51Nod-1074（大数据规模）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    ll n, m;
    ll ans = 0;
    cin >> n >> m;
    for (ll i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (ans + m < i)
        {
            ll len = (i - ans) / m;
            if (len + i < n)
            {
                i += len;
                ans += m*len;
            }
            else
            {
                ans += m*(n-i);
                i = n;
            }
        }
        ans = (ans + m) % i;
    }
    cout << ans + 1 << endl;
    return 0;
}

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解题思路：

除去超大的n之外。就是个约瑟夫环的裸题。

约瑟夫环递推公式，n为人数，m为步长。

f(1) = 0

f(n) = [f(n-1)+m]%i  i∈[2,n]

// f(n)还要经过起始位置修正，设起始位置为s，即ans=[f(n)+s]%n。

基本约瑟夫环优化就是当k=1的时候，每次递推就是在+1，可以直接算出来快速跳过，f(n)=f(1)+n-1

当n超大的时候，可以照着这种思路快速简化递推过程。在递推后期，f(x)+m在很长的周期内<i，假设有len个周期，

那么这些周期合并后的结果相当于f(x)+len*m。可以快速跳过。条件限制是: f(x)+len*m<i+(len-1)

可以推出来：

当len=1时，条件限制: f(x)+m<i

当len=2是，条件限制: f(x+1)+m<i+1=f(x)+2*m<i+1

当m=m时，条件限制：f(x)+len*m<i+(len-1)

化简有m<(i-f(x)-1)/(m-1)，若能整除，就是(i-f(x)-1)/(m-1)-1，否则就是(i-f(x)-1)/(m-1)直接取整。

这样，i+=len，f(x)+=m*len，快速跳过了中间过程。

若i+len>n，说明快速跳越界了，这时候可以直接算出f(n)=f(x)+(n-i-1)*len。