约瑟夫问题及其变形

Posted 2020-08-15 ACforever

部分转自http://blog.csdn.net/kangroger/article/details/39254619，复习自用

本渣昨天晚上做了一道模拟赛，第一道题是一个递推的小题，上网一查原来这个题是有一个经典模型的

约瑟夫环问题：一圈共有N个人，开始报数，报到M的人自杀，然后重新开始报数，问最后自杀的人是谁？

 

如图：内环表示人排列的环，外环表示自杀顺序；上面N=41,M=3。

最普通办法就是模拟整个过程：建一个bool数组，true表示此人还活着，false表示已经自杀。可以模拟整个过程

可是模拟的速度太慢，是o(nm)的，时间上大概无法承受，我们考虑数学分析递推，考虑到没杀掉一个人，圈内的人数减一，一个求n人的过程变成了一个求n-1个人的过程，我们考虑从1开始递推

设f(n)为0~n-1个人中最后自杀的人是谁

①当n=1，这是一个平凡问题，一定是0号自杀

②假设f(n-1)已经求出来，我们考虑f(n)实际上是多了一个人，从1开始报数，这时m-1号自杀，再次报数，原来报1号的人由原来的0号变为了m号，2号变成了m+1号……，我们注意到实际上就是把编号往后推了M个，所以答案也要往后推M个，可以得到递推式子f(n) = f(n-1) + m mod n

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int N;//人的总个数
    int M;//间隔多少个人

    cin>>N;
    cin>>M;
    int result=0;//N=1情况
    for (int i=2; i<=N; i++)
    {
        result=(result+M)%i;
    }
    cout<<"最后自杀的人是："<<result+1<<endl;//result要加1
    return 0;
}

(留坑）