素数筛（筛选出一定范围内的所有素数）

Posted 2020-11-25 ispinocchio

鄙白第一篇博客，完完全全仅供纯白白借鉴，

如侵必删。

素数筛字面意思就是筛选某范围内（l,r)的素数嘛。

那怎么筛呢。其思想就是  把范围内的合数都筛去，不就只剩下素数了。而任何合数都可以表示为素数的乘积。因此，如果一个数是素数，那么这个素数的倍数一定是合数。上代码！

bool isprime[MAX];            //给数做标志，是素数则为1，不是则为0 
long long su[MAX];            //把素数都存入该数组，当然你也可以用STL容器存储 

void prime(){
	cnt=1;                    //用来计素数个数 
	memset(isprime,1,sizeof(isprime));     //先初始化所有数的标志都是1 
	isprime[0]=isprime[1]=0;               //0和1不是素数 
	for(long long i=2;i<=MAX;i++){
		if(isprime[i])                     //如果是素数，就保存到su[MAX]里
		{
		    su[cnt++]=i; 
		    for(long long j=i*2;j<=MAX;j+=i){  //该素数的倍数都是合数，标记为0 
			    isprime[j]=0;
		} 
	}
}

思路很清晰。但很明显，这个效率很低，因为会有重复计算。比如：当i=2时，j=i*2+2=6。而当i=3时，j=i*3=6;如此往后，庞大的数就会有庞大的重复计算量。

因此我们来优化一下：上述的筛选让每个数的倍数都循环到MAX一遍，这次我们只筛选小于i的素数与i的乘积，这样既不会重复筛选，也不会有遗漏，时间复杂度为线性的（第一次看可能不太懂为什么，但其实写个2,3,5就明白了）

即：欧拉筛   复杂度为O（n）！（重点重点，看起）

欧拉筛的思想：对于合数的筛出判断用唯一的条件，将合数分解为（他的最小质因子*另一个数）。以达到不重复的目的。

先上代码理解一下：

bool isprime[MAX]; 
long long su[MAX];
void prime(){
	cnt=0;
	memset(isprime,1,sizeof(isprime));
	isprime[0]=isprime[1]=0;   
	for(int i=2;i<MAX;i++){
		if(isprime[i])
			su[cnt++]=i;      //以上和普通筛的步骤一样 
		for(int j=0;j<cnt&&i*su[j]<MAX;j++){
			isprime[i*su[j]]=0;   
			if(i%su[j]==0)       //关键之处↓ 
			    break;	  //判断如果prime[j]是i的最小质因数了，那么不再往下循环
		}
	}
}

欧拉筛的关键之处在于 if(i%su[j]==0)的判断。

假设某合数m是su[j]的整数倍且su[j]是m的最小质因子,即m=k1*su[j]。那么m*su[j+1]=(k1*su[j+1])*su[j]=k2*su[j]（此公式为理解欧拉筛的关键之处），即任意一个合数都可以表示成（其最小质因子和另一个合数的乘积）。

那么在for(int j=0;j<cnt&&i*su[j]<MAX;j++)循环中，当找到i1的最小质因数su[j]后，就没必要再将i1*su[j+1]标记为合数了，因为在循环i（for(int i=2;i<MAX;i++)）的时候，一定会有另一个数i2与su[j]相乘等于i1*su[j+1]。以此来达到不重复的原则。

（初次接触欧拉筛有些难以理解，举几个实数理解一下更方便，理解一天应属正常，我是这样安慰自己愚蠢的小脑袋的）