等差数列通项公式的高阶应用

Posted 2020-11-25 wanghai0666

前言

等差数列的通项公式(a_n=a_1+(n-1) d)，拓展公式为(a_n=a_m+(n-m)d)，本博文探讨拓展公式的高阶应用，并说明如何防止出错；

案例分析

• 给定一个等差数列({a_n})，(a_1=1)，(d_0=2)，

则我们容易知道，(a_1=1)，(a_2=3)，(a_3=5)，(a_4=7)，(a_5=9)，(a_6=11)，(a_7=13)，(a_8=15)，(a_9=17)，(a_{10}=19)，(cdots)，

那么(a_9=a_1+(9-1) imes 2=17)，也可以这样计算(a_9=a_3+(9-3) imes 2=5+12=17)；

那么从上述数列中的(a_1)开始，每间隔两项抽出来的数列，肯定也是等差数列。

比如(a_1)，(a_4)，(a_7)，(a_{10})，(cdots)，该数列的首项为(a_1)，公差为(d_1=3 imes d_0=6)，

【问题】该如何计算此数列的通项公式呢？

思考一：是这样的吗？(a_n=a_1+(n-1) imes 6=6n-5)，

回答：错误，上述通项公式，只能计算第一项，从第二项开始就是错误的；它没有注意到数列的下标特征，

思考二：注意到下标特征，故这些项应该统一用(a_{3k+1})来表达刻画，那么通项公式应该是(a_{3k+1}=a_1+[(3k+1)-1] imes 6=18k+1)吗？

回答：错误，用上述的通项公式计算的(a_4=73)，是错误的；

思考三：上述的通项公式是用拓展公式计算的，难道拓展公式错了？

回答：拓展公式没错，只是使用出错了，上述所乘的公差应该是(d_0)，不应该是(d_1)，因为下标(3k+1)是跳着取值的，

思考四：是这样的吗？(a_{3k+1}=a_1+[(3k+1)-1] imes 2=6k+1)

回答：是这样的，你可以验证一番，当(k=0)时，(a_1=1)，当(k=1)时，(a_4=7)，当(k=2)时，(a_7=13)，

思考五：为什么是这样的呢？

回答：当下标采用(3k+1)表达式，其值不是连续的，故所乘的公差应该是原来的公差(d_0)；

思考六：还可以怎么计算呢？

回答：先不管通项公式的左端，先计算右端，得到(a_1+(n-1) imes 6)

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