斐波那契数列的通项公式及证明

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了斐波那契数列的通项公式及证明相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

简介

斐波那契数列是指的这样的一个数列,从第3项开始,以后每一项都等于前两项之和。写成递推公式即:

[a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n ge 3) ]

假设令(a_1=1,a_2=1),则斐波那契数列指的是这样的一串数:({1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...})。接下来,文章提到斐波那契数列特指(a_1=1,a_2=1)的这串数。

斐波那契数列的通项公式及证明

通项公式

斐波那契数列的通项公式非常对称:

[a_n=frac{1}{sqrt{5}}[(frac{sqrt{5}+1}{2})^n-(frac{sqrt{5}-1}{2})^n] ]

可以发现,斐波那契数列都是整数,但斐波那契数列的通项公式确是由无理数拼凑而来的。那么接下来,我们就来看看如何证明(求解)

证明

引入

首先,我们来看看这样的一个题目:

已知(a_n=k imes a_{n-1}+b(n le 2)),求该数列的通项公式(用含有(k,b,a_1)的式子表示)

这不是一道原题,是我将题目中的数字用字母代替得到的。
闲话少说,我们来看看这要怎么做。
首先,我们要回到两种最基本的数列:等差数列和等比数列。
这两个数列的通项公式分别是:

[a_n=a_1+(n-1) imes d (d为公差) ]

[a_n=r^{n-1} imes a_1 (r为公比) ]

知道了这两个公式,我们便要懂得转化。
可以看到
(~~~)(k=0)时,该数列是一个常数列,通项公式为(a_n=a_1)
(~~~)(k=1)时,该数列是一个等差数列,通项公式为(a_n=a_1+b imes (n-1))
(~~~)(k>1)时,就是我们要讨论的重点。
(~~~~~~)首先,我们考虑能不能把他化为等差数列,然而,很显然不行。
(~~~~~~)那么,就考虑等比数列,我们把常数项(b)裂解,使之构成这样的一个式子:

[a_n+t=k(a_{n-1}+b-t) ]

(~~~~~~)可以通过解方程算出(t)的值,于是原式便变成了一个等比数列,运用等比数列的通项公式,然后移项,数列({a_n})的通项公式也就求出来了。

(Ps.)这种方法在高中必修五会重点讲到,这种计算数列通项公式的算法就叫裂项构造法,后面的篇幅讲重点讲高中不会涉及的二阶递推式的通项公式的求法。

正题

斐波那契数列的递推公式为

[a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n ge 3) ]

同样考虑裂项可设

[a_n-lambda a_{n-1}=mu (a_{n-1}-lambda a_{n-2}) ]

移项后,使系数相同,得到:

[left{egin{matrix} lambda + mu = 1\ -lambda imes mu =1 end{matrix} ight.]

解得

[left{egin{matrix} lambda = frac{1+sqrt{5}}{2}\ mu = frac{1-sqrt{5}}{2} end{matrix} ight. ext{或}left{egin{matrix} lambda = frac{1-sqrt{5}}{2}\ mu = frac{1+sqrt{5}}{2} end{matrix} ight.]

将其带回到原式可得到

[left{egin{matrix} a_n-frac{1+sqrt{5}}{2}a_{n-1}=frac{1-sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-frac{1+sqrt{5}}{2}a_{n-2})\ a_n-frac{1-sqrt{5}}{2}a_{n-1}=frac{1+sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-frac{1-sqrt{5}}{2}a_{n-2}) end{matrix} ight.]

可以发现({a_{n+1}-frac{1+sqrt{5}}{2}a_n})已经构成了一个等比数列,然后根据等比数列通项公式,我们可以得到:

[left{egin{matrix} a_n-frac{1+sqrt{5}}{2}a_{n-1}=(frac{1-sqrt{5}}{2})^{n-2}(a_2-frac{1+sqrt{5}}{2}a_1)---------1.\ a_n-frac{1-sqrt{5}}{2}a_{n-1}=(frac{1+sqrt{5}}{2})^{n-2}(a_2-frac{1-sqrt{5}}{2}a_1)---------2. end{matrix} ight.]

然后:

[2. imes frac{1-sqrt{5}}{2}-1. imes frac{1+sqrt{5}}{2} ]

化简得

[a_n=frac{1}{sqrt{5}}[(frac{sqrt{5}+1}{2})^n-(frac{sqrt{5}-1}{2})^n] ]

得证!!!
完结散花(o)/~ O(∩_∩)O哈哈~

总结

通过递推公式计算通项公式的思想就是,将数列化为我们能够处理的数列,这种思想在我们平时的学习中也会运用到。
最后,请思考,如果上面求出的(lambda)=(mu),我们要怎么处理呢?
欢迎在评论区留言。
我会在这一篇博文重点讲解((Ps.)由于我还没有写,写完了我会补上去。)














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