生成函数求解一般递推数列通项公式

Posted 2021-03-26 ilverene

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• 范例 - 对斐波那契通项公式的推导
• 对一般递推数列通项公式的推导

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写在前面

本文解出的通项公式十有八九与使用特征根方程接触的在形式上不同，但是其正确性可以保证。

如有强迫症请自行化简。

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范例 - 对斐波那契通项公式的推导

设生成函数
[ A=1+x+2x^2+3x^3+5x^4+... ]
不难发现，(i-1)项系数即为斐波那契数列第(i)项的值。

由于斐波那契数列递推式为
[ F(i)=F(i-1)+F(i-2) ]
我们得到另外两个生成函数
[ xA=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5...x^2A=x^2+x^3+2x^4+3x^5+5x^6... ]
显然有
[ A=xA+x^2A+1 ]
所以
[ A=frac{1}{1-x-x^2} ]
由于我们不知道二次形式如何化简，所以考虑转换为两个一次形式，即
[ A=frac{a}{1-frac{1+sqrt{5}}{2}x}+frac{b}{1-frac{1-sqrt{5}}{2}x} ]
联立解得
[ a=frac{5+sqrt{5}}{10}=frac{5-sqrt{5}}{10} ]
因为
[ frac{1}{1-kx}=1+kx+k^2x^2+... ]
所以得到
[ A=frac{5+sqrt{5}}{10}frac{1}{1-frac{1+sqrt{5}}{2}x}+frac{5-sqrt{5}}{10}frac{1}{1-frac{1-sqrt{5}}{2}x} ]
于是展开即可得到通项
[ F(n)=frac{5+sqrt{5}}{10}(frac{1+sqrt{5}}{2})^n+frac{5-sqrt{5}}{10}(frac{1-sqrt{5}}{2})^n ]

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对一般递推数列通项公式的推导

与上述过程相似，根据具体的递推公式选择构造即可。