一道使用Fibonnaci数列通项公式的趣味题目

Posted 2020-11-25 water_lift

一道使用Fibonnaci数列通项公式的趣味题目

求
\[ \sum_{i=0}^n{n\choose i}f_i \]
其中\(f_i\)表示Fibonnaci数列（\(f_0=0, f_1=1, f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\)）第n项。

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当时下面很多神仙都纷纷表达了自己的观点，什么矩阵快速幂、卷积。。。

结果老师讲正解，上来就用Fibonnaci数列通项公式。

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Fibonnaci数列通项公式它长这样：

\[ f_i=\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right] \]

简单推一下式子：

\[ \begin{aligned} \sum_{i=0}^n{n\choose i}f_i&=\sum_{i=0}^n{n\choose i}\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]\&=\frac{1}{\sqrt5}\left[\sum_{i=0}^n{n\choose i}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\sum_{i=0}^n{n\choose i}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]\&=\frac{1}{\sqrt5}\left[\sum_{i=0}^n{n\choose i}1^{n-i}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\sum_{i=0}^n{n\choose i}1^{n-i}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]\&=\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(1+\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(1+\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]\&=\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{3-\sqrt5}{2}\right)^n\right]\&=\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{2n}-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{2n}\right]\&=f_{2n} \end{aligned} \]

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