平面最近点对

Posted 2020-11-25 yrz001030

一，平面最近点对

问题：在给n个平面上的点，让你找到最近的一对点。

暴力n*n做法肯定超时。

我们考虑分治。

1-n这个区间，我们可以先找到A=（1-mid）和B=（mid+1,n）这个区间的最小点对。并一直递归下去。

现在主要的问题，在于如何对这两个区间进行合并操作。

因为，也许最近点对是A区间一个点B区间一个点。

我们可以继续考虑

合并这两个区间，我们有必要把这两个区间所有的点都拿来比较一下吗？

肯定是没有必要的。

假如当前所求的最小距离为minx，同时我们可以把a[mid]作为一个旗标。

A区间和B区间的点离旗标之间的距离如果大于minx。那我肯定就不用考虑了。

所以我们合并的时候要考虑的x范围是[a[mid] - minx,a[mid] + minx]。超过这个范围的x，距离一定会比minx大。

可是这样还不够，万一所考虑的区间很多点，那复杂度还是降不下来。

我们用考虑x的想法继续去考虑y。

对于一个点a的y来说，与点a的最近点b的y，一定不会离a的y差minx距离。

所以我们用这种方法可以把所考虑到的点降低到只有7个点。

为什么是7个点呢？

可看下面这篇证明：https://oi-wiki.org/geometry/nearest-points/

参考博客:https://www.cnblogs.com/kamimxr/p/11200473.html 大佬的图解很好懂了。

例题一：https://www.luogu.com.cn/problem/P1429

这题是裸题，可以做模板了。（逃，巨弱还是错了n次，痛

#include"stdio.h"
#include"string.h"
#include"vector"
#include"math.h"
#include"algorithm"
using namespace std;

typedef struct Node{
    double x,y;
    int id;
}Node;

int n;
Node node[200100];
Node tran[200100];
double minx = 1e20;

bool same(double a, double b) { /// 1e-5精度意义下的浮点数相等
    if(fabs(a-b) <= 1e-5) return true; return false;
}
int cmpx(Node a,Node b){
      if(!same(a.x, b.x)) return a.x<b.x; return a.y<b.y;
}
int cmpy(Node a,Node b){
     if(!same(a.y, b.y)) return a.y<b.y; return a.x<b.x;
}

void dist_minx(Node a,Node b){
    double sum = sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
    minx = min(minx,sum);
}

void merge_node(int l,int mid,int r)
{
    int t = 0;
    int i = l,j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r)
    {
        if(node[i].y < node[j].y)
        {
            tran[++ t] = node[i]; i ++; continue;
        } else {
            tran[++ t] = node[j]; j ++; continue;
        }
    }
    while(i <= mid) tran[++ t] = node[i ++];
    while(j <= r) tran[++ t] = node[j ++];
    for(int i = l; i <= r; i ++)
        node[i] = tran[i - l + 1];
}

void Blocking(int l,int r)
{
    if(r - l <= 3)
    {
        for(int i = l; i < r; i ++)
        {
            for(int j = i + 1; j < r; j ++)
            {
                dist_minx(node[i],node[j]);
            }
        }
        sort(node + l,node + r + 1,cmpy);
        return ;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    double midx = node[mid].x;
    Blocking(l,mid); Blocking(mid + 1,r);
    merge_node(l,mid,r);
    vector<Node> Q;
    for(int i = l; i <= r; i ++)
    {
        if(fabs(node[i].x - midx) >= minx) continue;
        for(int j = Q.size() - 1; j >= 0; j --)
        {
            if(fabs(Q[j].y - node[i].y) >= minx) break;
            dist_minx(Q[j],node[i]);
        }
        Q.push_back(node[i]);
    }
    Q.clear();
    return ;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        scanf("%lf%lf",&node[i].x,&node[i].y);
        node[i].id = i;
    }
    sort(node + 1,node + n + 1,cmpx);
    Blocking(1,n);
    printf("%0.4lf
",minx);
}

 

 

例题二：http://codeforces.com/problemset/problem/120/J

题意是要我们找到一对点：类似于最近点对的sqrt((xi+xj)^2 +(yi+yj)^2)使其值最小的点对。

观察可得，这个式子是不是跟两点间的距离就只差了一个符号。

那我们可以把式子转化为：sqrt((xi-(-xj))^2 +(yi-(-yj))^2)

在根据题意，一个点可以自由转化为带负数的形式。就可做了。

吐了，cmpx写错导致浪费了3个小时。

注意：你不能直接在求路径的时候加负数。这会导致你的y排序不满足的问题。

所以，我们应该在最后的时候在把k转换过来。

#include"stdio.h"
#include"string.h"
#include"vector"
#include<bits/stdc++.h>
#include"math.h"
#include"algorithm"
using namespace std;
typedef long long ll;

typedef struct Node{
    ll x,y;
    int id,stae;
}Node;

int n;
Node node[800100];
Node tran[800100];
ll minx = LONG_LONG_MAX;
int v1,v2,s1,s2;

int cmpx(Node a,Node b){
      if(a.x != b.x) return a.x<b.x; return a.y<b.y;
}
int cmpy(Node a,Node b){
    if(a.y == b.y) return a.x < b.x;
      return a.y<b.y;
}

void dist_minx(Node a,Node b){
    if(a.id == b.id) return ;
    ll sum = ((a.x - (b.x)) * (a.x - (b.x)) + (a.y - (b.y)) * (a.y - (b.y)));
    if(minx>sum)
    {
        minx = sum;
        v1 = a.id,v2 = b.id;
        s1 = a.stae;s2 = b.stae;
    } return ;
}

void merge_node(int l,int mid,int r)
{
    int t = 0;
    int i = l,j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r)
    {
        if(node[i].y < node[j].y)
        {
            tran[++ t] = node[i]; i ++; continue;
        } else {
            tran[++ t] = node[j]; j ++; continue;
        }
    }
    while(i <= mid) tran[++ t] = node[i ++];
    while(j <= r) tran[++ t] = node[j ++];
    for(int i = l; i <= r; i ++)
        node[i] = tran[i - l + 1];
}

void Blocking(int l,int r)
{
    if(r - l <= 5)
    {
        for(int i = l; i < r; i ++)
        {
            for(int j = i + 1; j <= r; j ++)
            {
                dist_minx(node[i],node[j]);
            }
        }
        sort(node + l,node + r + 1,cmpy);
        return ;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    ll midx = node[mid].x;
    Blocking(l,mid); Blocking(mid + 1,r);
    merge_node(l,mid,r);
    vector<Node> Q;
    for(int i = l; i <= r; i ++)
    {
        if((node[i].x - (midx)) * (node[i].x - (midx)) >= minx) continue;
        for(int j = Q.size() - 1; j >= 0; j --)
        {
            if((Q[j].y - (node[i].y)) *(Q[j].y - (node[i].y)) >= minx) break;
            dist_minx(Q[j],node[i]);
        }
        Q.push_back(node[i]);
    }
    Q.clear();
    return ;
}

int main()
{
    freopen("input.txt","r",stdin);
	freopen("output.txt","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    int top = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        ll x,y;
        scanf("%lld%lld",&x,&y);

        node[++ top].x = x; node[top].y = y; node[top].id = i; node[top].stae = 1;
        node[++ top].x = -x; node[top].y = y; node[top].id = i;node[top].stae = 2;
        node[++ top].x = x; node[top].y = -y; node[top].id = i; node[top].stae = 3;
        node[++ top].x = -x; node[top].y = -y; node[top].id = i; node[top].stae = 4;
    }
    n = n * 4;
    sort(node + 1,node + n + 1,cmpx);
    Blocking(1,n);
    printf("%d %d %d %d
",v1,s1,v2,5 - s2);
}