[51nod1138]正整数分解为几个连续自然数之和

Posted 2020-09-20

解题关键：注意为什么上界是$\sqrt {2n} $

因为函数是关于m的递减函数，而结果必须为正整数

$a = \frac{{2n + m - {m^2}}}{{2m}} = \frac{n}{m} + \frac{1}{2} - \frac{m}{2}$

将$\sqrt {2n} $带入，结果为$\frac{1}{2}$，正好保证了结果不为负，因为函数是单调递减的，所以也不需判断结果是否为负。

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 int main(){
 5     int n;
 6     cin>>n;
 7     bool flag=false;
 8     int t=sqrt(2*n);
 9     for(int i=t;i>=2;i--){
10         int t1=2*n+i-i*i;
11         int t2=2*i;
12         if(t1%t2==0){
13             flag=true;
14             cout<<t1/t2<<endl;
15         }
16     }
17     if(!flag) cout<<"No Solution\n";
18     return 0;
19 }

 

第二个问题是什么样的数可以写成连续n个自然数之和，什么样的数不能？
通过编程实验发现，除了2^n以外，其余所有数都可以写成该形式。下面说明为什么。
若数M符合条件，则有M=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n-1)=(2*a+n-1)*n/2，而2*a+n-1与n肯定一个为奇数一个为偶数，即M一定要有一个奇数因子，而所有2^n都没有奇数因子，因此肯定不符合条件。
再证明只有M有一个奇数因子，即M!=2^n，M就可以写成连续n个自然数之和。假设M有一个奇数因子a，则M=a*b。
1)若b也是奇数，只要b-(a-1)/2>0，M就可以写成以b-(a-1)/2开头的连续a个自然数；将这条结论里的a和b调换，仍然成立。15=3*5=1+2+3+4+5=4+5+6.
2)若b是偶数，则我们有一个奇数a和一个偶数b。
2.1)若b-(a-1)/2>0，M就可以写成以b-(a-1)/2开头的连续a个自然数。24=3*8=7+8+9.
2.2)若(a+1)/2-b>0，M就可以写成以(a+1)/2-b开头的连续2*b个自然数。38=19*2=8+9+10+11.
上述两个不等式必然至少有一个成立，所以可以证明，只要M有一个奇数因子，就一定可以写成连续n个自然数之和。