唯一分解定理

Posted 2020-12-13 ticmis

唯一分解定理：

定义：对于任意一个大于1的自然数，必定能以质数的连续乘积的形式来表达。（个人口述，非标准，但足够易懂）

关于唯一分解定理的证明：
设当前数字为a.
· 假如a是一个质数：那没什么好说的，a的因数只有1和a，则a就应该用其自身表示。
· 假如a是一个合数：那么根据合数的定义，a一定可以分解为几个数字的乘积的形式。那么递归地考虑，只要是一个合数就可以继续分解，而当分解到了质数就无法继续分解下去，因此所有的质数最终都可以由质数的乘积来表示。

使用时的小技巧：
还是，假设当前要分解的数字为a
当分解a的数字处于sqrt(a)~a时，这种数字只可能在一个位置出现一次。理由也很简单，当sqrt(a)*sqrt(a)时，就已经等于a，所有两个大于sqrt(a)的数字的乘积必定会大于a。
因此，假如要分解一个很大的数字（n），那么筛质数和分解的过程可以只求到sqrt(n)即可，倘若完成之后n仍然大于1，那么n的值就是n大于sqrt(n)的“唯一的”质因数。