HDU4507 吉哥系列故事——恨7不成妻 题解 数位DP

Posted 2020-11-24 quanjun

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4507

题目大意：
找到区间 ([L,R]) 范围内所有满足如下条件的数的 平方和 ：

• 不包含‘7’；
• 不能被 7 整除；
• 各位之和不能被 7 整除。

注意：求的是满足条件的数的 平方和 ！

解题思路：
使用 数位DP 尽情求解。
但是因为这里求的是满足要求的元素的平方和，而不是元素的个数。
所以我们不能简单地开long long来存放结果，
而是开一个结构体来存放结果，结构体中需要包含三个元素：

• 满足要求的元素个数（用 cnt 表示）；
• 满足要求的元素的和（用 sum 表示）；
• 满足要求的元素的平方和（用 sum2 表示）

定义状态 (f[pos][pre][ts]) 表示：

• 当前在第 (pos) 位；
• 前一位（即第 (pos+1) 位）放置的数 mod 7为 (pre)
• 前面所有位上的数的和 mod 7 的结果为 (ts)

时对应的信息（包括元素个数、和、平方和）。

那么如何获得状态转移方程呢？

每次查找的数字的前几位都是一样的，比如对于三位数:

[abc]

假设第一位枚举了2；即

[2|b|c]

那么之后枚举到的数字就是 (200+x) 。

如果 (200) - (300) 之间只有 (231) ，(230) 和 (233) 满足条件，那么 (200) - (300) 之间的数的平方和就为

[230^2+231^2+233^2]

也就等于

[(200+30)^2+(200+31)^2+(200+33)^2]

展开后得到:

[3 imes 200^2+2 imes 200 imes (30+31+33)+(30^2+31^2+3^32)]

并且我们可以据此得到状态转移了。

（上述思路来自 Ender的博客 ，不过他的公式推到错了，多乘了一个3，所以还是看我的计算公式即可）

实现的代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long MOD = 1000000007LL;
struct Node {
    long long cnt;    // 数量
    long long sum;    // 和
    long long sum2;   // 平方和
    Node () {};
    Node (long long _cnt, long long _sum, long long _sum2) {
        cnt = _cnt; sum = _sum; sum2 = _sum2;
    }
} f[22][7][7];
int a[22];
bool vis[22][7][7];
long long pow10[22];
void init() {
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    pow10[0] = 1;
    for (int i = 1; i < 22; i ++) pow10[i] = pow10[i-1] * 10 % MOD;
}
Node dfs(int pos, int pre, int ts, bool limit) {
    if (pos < 0) {
        int cnt = 1;
        if (pre == 0) cnt = 0;  // 不能被7整除
        if (ts == 0) cnt = 0;   // 所有数位的和不能被7整除
        return Node(cnt, 0, 0);
    }
    if (!limit && vis[pos][pre][ts]) return f[pos][pre][ts];
    int up = limit ? a[pos] : 9;
    Node res = Node(0, 0, 0);
    for (int i = 0; i <= up; i ++) {
        if (i == 7) continue;   // 不能包含7
        Node tmp = dfs(pos-1, (pre*10+i)%7, (ts+i)%7, limit && i==up);
        long long tmp_cnt = tmp.cnt;
        long long tmp_sum = tmp.sum;
        long long tmp_sum2 = tmp.sum2;
        long long t = pow10[pos] * i % MOD;
        long long now_sum = (t * tmp_cnt + tmp_sum) % MOD;
        long long now_sum2 = (tmp_cnt * t % MOD * t % MOD + 2LL * t % MOD * tmp_sum % MOD + tmp_sum2) % MOD;
        res.cnt = (res.cnt + tmp_cnt) % MOD;
        res.sum = (res.sum + now_sum) % MOD;
        res.sum2 = (res.sum2 + now_sum2) % MOD;
    }
    if (!limit && !vis[pos][pre][ts]) {
        vis[pos][pre][ts] = true;
        f[pos][pre][ts] = res;
    }
    return res;
}
long long get_num(long long x) {
    int pos = 0;
    while (x) {
        a[pos++] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    return dfs(pos-1, 0, 0, true).sum2;
}
int T;
long long L, R;
int main() {
    init();
    scanf("%d", &T);
    while (T --) {
        scanf("%lld%lld", &L, &R);
        printf("%lld
", (get_num(R) - get_num(L-1) + MOD) % MOD);
    }
    return 0;
}