HDU 4507 吉哥系列故事――恨7不成妻(数位dp&好魔性的一道好题)

Posted 2020-06-16 shiyicode

题目链接：[kuangbin带你飞]专题十五 数位DP J - 吉哥系列故事――恨7不成妻

题意

Time Limit:500MS Memory Limit:32768KB 64bit IO Format:%I64d & %I64u

Description

　　单身!
　　依然单身！
　　吉哥依然单身！
　　DS级码农吉哥依然单身！
　　所以，他生平最恨情人节，不管是214还是77，他都讨厌！
　　
　　吉哥观察了214和77这两个数，发现：
　　2+1+4=7
　　7+7=7*2
　　77=7*11
　　最终，他发现原来这一切归根到底都是因为和7有关！所以，他现在甚至讨厌一切和7有关的数！

　　什么样的数和7有关呢？

　　如果一个整数符合下面3个条件之一，那么我们就说这个整数和7有关――
　　1、整数中某一位是7；
　　2、整数的每一位加起来的和是7的整数倍；
　　3、这个整数是7的整数倍；

　　现在问题来了：吉哥想知道在一定区间内和7无关的数字的平方和。

Input

输入数据的第一行是case数T(1 <= T <= 50)，然后接下来的T行表示T个case;每个case在一行内包含两个正整数L, R(1 <= L <= R <= 10^18)。

Output

请计算[L,R]中和7无关的数字的平方和，并将结果对10^9 + 7 求模后输出。

思路

题目dp思路很好想，但麻烦的地方在于其要求的值是符合条件的树的平方和。
我们用pra记录前面位的数字和%7，prb记录前面位的数字的值%7。加上遍历时对7的筛除，我们很容易可以找出与7无关的数，但是怎样求平方和呢？

---

我们用三个变量
cnt表示当前状态下的与7无关的数的个数，在搜索的过程中很容易得到
sum表示当前状态下的与7无关的数的合
那么newsum ＝ i*10^len*cnt + sum(i是当前选取的数，用cnt个加上cnt个数的和即sum，便是新的数的和)
sqsum表示当前状态下与7无关的数的平方和
(i*10^len + num)^2 = (i*10^len)^2 + 2*i*10^len*num + num^2;
而cnt个数的平方和就是
(i*10^len)^2*cnt + SUM(num^2) + 2*i*10^len*SUM(num)
即(i*10^len)^2*cnt + sqsum + 2*i*10^len*sum。

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ps:之所以说这题魔性，就是要考虑的小细节太招人烦了，题目中需要大量的取余，少一个就得wrong(说好的优雅写代码呢)
还有，因为取余的原因，ansr － ansl可能结果为负，所以要加上mod再取余。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <vector>

using namespace std;

#define LL long long
const int MOD = 1E9 + 7;
struct Node
{
    LL cnt;
    LL sum;
    LL sqsum;
    Node(){}
    Node(LL a, LL b, LL c):cnt(a), sum(b), sqsum(c){}
}dp[20][7][7];
int dis[20];
LL c[20];

Node dfs(int len, int pra, int prb, bool flag)
{
    if(len < 0)
    {
        return Node(pra!=0 && prb!=0, 0, 0);
    }
    if(!flag && dp[len][pra][prb].cnt != -1)
        return dp[len][pra][prb];
    int end = flag?dis[len]:9;
    Node ans = Node(0, 0, 0);
    for(int i=0; i<=end; i++)
    {
        if(i != 7)
        {
            Node t = dfs(len-1, (pra+i)%7, (prb*10+i)%7, flag && i==end);
            ans.cnt = (ans.cnt + t.cnt) % MOD;
            ans.sum += (((c[len]*i)%MOD*t.cnt)%MOD + t.sum) % MOD;
            ans.sum %= MOD;
            ans.sqsum += (t.sqsum + ((2*c[len]*i)%MOD*t.sum)%MOD) %MOD;
            ans.sqsum %= MOD;
            ans.sqsum += ((i*c[len]*i%MOD)*c[len]%MOD * t.cnt) %MOD;
            ans.sqsum %= MOD;
        }
    }
    if(!flag)
        dp[len][pra][prb] = ans;
    return ans;
}

void init()
{
    c[0] = 1;
    for(int i=1; i<20; i++)
        c[i] = (c[i-1]*10) % MOD;
}

LL solve(LL n)
{
    int len = 0;
    while(n)
    {
        dis[len++] = n%10;
        n /= 10;
    }
    Node ans;
    ans = dfs(len-1, 0, 0, 1);
    return ans.sqsum;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    init();
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    while(T--)
    {
        LL l, r;
        scanf("%lld%lld", &l, &r);
        printf("%lld\n", (solve(r) - solve(l-1) + MOD) % MOD);
    }
    return 0;
}