ACM | 算法 | 快速幂

Posted 2020-11-24 uzuki

快速幂

? 幂运算：(x ^ n)

? 根据其一般定义我们可以简单实现其非负整数情况下的函数

定义法：

int Pow (int x, int n) {
    int result = 1;
    
    while(n--) {
        result *= x;
    }
    
    return result;
}

? 不难看出此时算法的时间复杂度是(O(n))，一旦n取较大数值，计算时间就会大大增加，极其容易出现超时的情况。

快速幂：

? 首先要在此列举两个前提：

1. 计算机是通过二进制进行存储数据的，对二进制数据可以直接进行操作。

2. (2^n+2^n=2*2^n=2^{n + 1})

? 对于(x ^ n)，其中n可以表示为m位的二进制形式，即(n=n_12^0+n_22^1+n_32^3+cdots+n_m2^{m-1})

? 那么(x ^ n=x ^ {n_12^0+n_22^1+n_32^3+cdots+n_m2^{m-1}})

? 即(x^n=x ^ {n_12^0}*x^{n_22^1}*x^{n_32^3}*cdots*x^{n_m2^{m-1}})

? 根据前提1，计算机可以直接对二进制格式存储的数据进行读取，那么我们就可以对(n)一个个读取再对其进行累乘。

? 当取到第(a)位时，其乘数有通项公式：(x^{n_a2^{a-1}})

? 通过标准库math，用代码实现：

int Pow (int x, int n) {

    int result = 1;

    int a = 1;
    
    while(n) {
        if(n & 1) result *= round( pow(x, 1 << (a - 1)) );//round的作用在于double转int时防止丢失精度，对1进行位运算是一种计算2的n次幂的快速方法
        n >>= 1;
        
        a++;
    }
    
    return result;
}

? 但实际上这个调用了标准库的代码并没有实现快速幂，因为仍然是采用pow()进行的运算

此处由 (2^n+2^n=2*2^n=2^{n + 1})

即((x ^ {2 ^ {n}} )^2=x ^ {2 ^ {n}} *x ^ {2 ^ {n}} = x ^ {2^n+2^n} = x ^ {2*2^n} =x ^ {2 ^ {n + 1}})

因此我们可以通过对前项进行二次幂运算得到后项

先得到首项(f(1)=x^{2^{1-1}}=x)

即令int f = x

具体实现：

int Pow (int x, int n) {

    int result = 1;

    int f = x;
    
    while(n) {
        if(n & 1) result *= f;

        f *= f;
        
        n >>= 1;
    }
    
    return result;
}

不难发现此时算法的时间复杂度由其次数的二进制位数而决定，即(O(m))也就是(O(log_2n))

另外因为此算法常常用于计算大数，所以int类型最好都换成long long类型，防止溢出。