ACM入门之矩阵快速幂

Posted 2022-05-04 辉小歌

矩阵快速幂其实是一个用于加速计算的一个算法。

矩阵快速幂和我们普通的数的快速幂是没有啥太大的区别的。不过一个是数，一个是矩阵。
矩阵快速幂的应用： 矩阵加速递推。例如:如果有一道题目让你求斐波那契数列第n项的值，最简单的方法莫过于直接递推了。但是如果n的范围达到了 10¹⁸级别，递推就不行了，稳 TLE。考虑矩阵加速递推。

看一个模板题来了解矩阵快速幂：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
const int mod=1e9+7;
typedef long long int LL;
LL n,m;
struct nodeLL a[N][N];a,ans;
node mul(node a,node b,int p)

	node sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int k=1;k<=n;k++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				sum.a[i][j]=(sum.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%p;
	return sum;

node  qsm(node a,LL b,LL p)

	node sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) sum.a[i][i]=1;//单元矩阵
	while(b) 
	
		if(b&1) sum=mul(sum,a,mod);
		b>>=1;
		a=mul(a,a,mod);
	
	return sum;

int main(void)

	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++) cin>>a.a[i][j];
	ans=qsm(a,m,mod);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	
		for(int j=1;j<=n;j++) cout<<ans.a[i][j]<<' ';
		cout<<'\\n';
	
	return 0;

矩阵快速幂的实际应用 。例题：

如果单纯的递推的话一定会T，故考虑矩阵快速幂来优化。
使用矩阵快速幂来优化，最重要的一步便是，构造常系数矩阵。
我们要将递推的运算转化成矩阵来运算。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int N=15;
const int mod=10000;
struct nodeLL a[N][N];ans,a;
int f[15]=0,1;
node mul1(node a,node b,LL p) 

	node c=0;
	for(int i=1;i<=1;i++)
	    for(int k=1;k<=2;k++)
			for(int j=1;j<=2;j++)
				c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%p;
	return c;

node mul2(node a,node b,LL p) 

	node c=0;
	for(int i=1;i<=2;i++)
		for(int k=1;k<=2;k++)
			for(int j=1;j<=2;j++)
				c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%p;
	return c;

node qsm(node a,LL b,LL p)

	node sum=0; 
	sum.a[1][1]=1,sum.a[1][2]=1;
	while(b)
	
		if(b&1) sum=mul1(sum,a,p);
		b>>=1;
		a=mul2(a,a,p);
	
	return sum;

int main(void)

	LL n;
	while(cin>>n,n!=-1)
	
		a.a[1][1]=1,a.a[1][2]=1;
		a.a[2][1]=1,a.a[2][2]=0;
		if(n<=2) cout<<f[n]<<'\\n';
		else
		
			ans=qsm(a,n-2,mod);
    		cout<<ans.a[1][1]<<'\\n';
		
	
	return 0;

例题二：


故求斐波那契的第n项和第n+1项求一个乘积即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int N=15;
const int mod=1e9+7;
struct nodeLL a[N][N];a,ans;
int f[15]=0,1;
node mul1(node a,node b,LL p) 

	node c=0;
	for(int i=1;i<=1;i++)
	    for(int k=1;k<=2;k++)
			for(int j=1;j<=2;j++)
				c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%p;
	return c;

node mul2(node a,node b,LL p) 

	node c=0;
	for(int i=1;i<=2;i++)
		for(int k=1;k<=2;k++)
			for(int j=1;j<=2;j++)
				c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%p;
	return c;

node qsm(node a,LL b,LL p)

	node sum=0; 
	sum.a[1][1]=1,sum.a[1][2]=1;
	while(b)
	
		if(b&1) sum=mul1(sum,a,p);
		b>>=1;
		a=mul2(a,a,p);
	
	return sum;

int main(void)

	LL n; cin>>n;
	a.a[1][1]=1,a.a[1][2]=1;
	a.a[2][1]=1,a.a[2][2]=0;
	if(n==1) puts("1");
	else
	
		ans=qsm(a,n-1,mod);
    	cout<<(ans.a[1][1]*ans.a[1][2])%mod<<'\\n';
    
	return 0;

例题三：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int N=15;
const int mod=1e9+7;
struct nodeLL a[N][N];ans,a;
int t; 
node mul1(node a,node b,LL mod)

	node c=0;
	for(int i=1;i<=1;i++)
		for(int k=1;k<=3;k++) 
			for(int j=1;j<=3;j++)
				c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
	return c;

node mul2(node a,node b,LL mod)

	node c=0;
	for(int i=1;i<=3;i++)
		for(int k=1;k<=3;k++) 
			for(int j=1;j<=3;j++)
				c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
	return c;

node qsm(node a,LL b,LL p)

	node sum=0;
	sum.a[1][1]=1,sum.a[1][2]=1,sum.a[1][3]=1;
	while(b) 
	
		if(b&1) sum=mul1(sum,a,mod);
		b>>=1;
		a=mul2(a,a,p);
	
	return sum;

int main(void)

	cin>>t;
	while(t--)
	
		LL n; cin>>n;
		if(n<=3) cout<<1<<'\\n';
		else
		
			a.a[1][1]=1,a.a[1][2]=1,a.a[1][3]=0;
			a.a[2][1]=0,a.a[2][2]=0,a.a[2][3]=1;
			a.a[3][1]=1,a.a[3][2]=0,a.a[3][3]=0;
			ans=qsm(a,n-3,mod);
			cout<<ans.a[1][1]<<'\\n';
		
	
	return 0;