快速乘法/快速幂 算法

Posted 2020-07-23 仰望高端玩家的小清新

快速幂算法可以说是ACM一类竞赛中必不可少，并且也是非常基础的一类算法，鉴于我一直学的比较零散，所以今天用这个帖子总结一下

快速乘法通常有两类应用：一、整数的运算，计算(a*b) mod c  二、矩阵快速乘法

一、整数运算：（快速乘法、快速幂）

先说明一下基本的数学常识：

(a*b) mod c == ( (a mod c) * (b mod c) ) mod c //这最后一个mod c 是为了保证结果不超过c

对于2进制，2ⁿ可用1后接n个0来表示、对于8进制，可用公式 i+3*j == n （其中 0<= i <=2 ），对于16进制，可用 i+4*j==n（0 <= i <=3）来推算，表达形式为2ⁱ 后接 j 个0。

 

接下来让我们尽可能简单的描述快速乘法的思想：

a*b

快速乘法的基本思想 ，是二进制和乘法分配律的结合，（不由得想起浮点数不满足结合律，严重吐槽！！！╮(╯-╰)╭），比如说，13 ==（1101）₂  ，4*13等于4*（1101）_{2 ，}用分配律展开得到4*13 == 4*（1000+100+1），我们不难观察出，快速幂可以通过判断当前的位（bit）是1还是0，推断出是否需要做求和操作，每次移动到下一位（bit）时，就对ans进行*2操作，等待是否求和。由于除以2和位移操作是等效的，因此这也可以看作是二分思想的应用，这种算法将b进行二分从而减少了不必要的运算，时间复杂度是log（n）。

 

a^b

快速幂其实可以看作是快速乘法的特例，在快速幂中，我们不再对ans进行*2操作，因为在a^b中b的意义已经从乘数变成了指数，但是我们可以仍然把b写成二进制，举例说明：此时，我们将4*13改为4^13，13=（1101）_{2 ，}二进制13写开我们得到（1000+100+1），注意，这里的所有二进制是指数，指数的相加意味着底数相乘，因此有4^13 == 4⁸ * 4⁴ * 4¹。再注意到指数之间的2倍关系，我们就可以用很少的几个变量，完成这一算法。这样，我们就将原本用循环需要O(n)的算法，改进为O（logN）的算法。

 

按照惯例，给出尽可能简洁高效的代码实现 （以下所有int都可用long long 代替）

首先，给出快速乘法的实现：

1 //快速乘法 
2 int qmul(int a,int b){// 根据数据范围可选择long long 
3     int ans=0;
4     while(b){
5         if( b&1)ans+=a;//按位与完成位数为1的判断
6         b>>=1;a<<=1;//位运算代替*2和/2
7     }
8     return ans;
9 }

如果涉及到快速乘法取模，则需要进行一些微小改动

改动所基于的数学原理，请参考红色字体标出的数学常识

1 //快速乘法取模 
2 int qmul_mod(int a,int b,int mod){
3     int ans=0;
4     while(b){
5         if((b%=mod)&1)ans+=a%=mod;//这里需要b%=mod 以及a%=mod 
6         b>>=1;a<<=1;
7     }
8     return ans%mod;  //ans也需要对mod取模 
9 }

 

接下来是快速幂的实现：

 1 //快速幂 a^b 
 2 int qpow(int a,int b){
 3     if(a==0)return 0;//这是个坑，校赛被坑过，很多网上的实现都没写这一点
 4     int ans=1;
 5     while(b){
 6         if(b&1)ans*=a;//和快速乘法的区别
 7         b>>=1;a*=a;//区别，同上
 8     }
 9     return ans;
10 } 

以及含有取模的快速幂：

1 int qpow_mod(int a,int b,int mod){
2     if(a==0)return 0;
3     int ans=1;
4     while(b){
5         if(b&1)ans=(ans%mod)*(a%mod);//如果确定数据不会爆的话，这一句和下一句都可以只写一个%mod，写成两个，是以防万一
6         b>>=1;a=(a%mod)*(a%mod);
7     }
8     return ans%mod;
9 }

 先更新到这，有时间再更新矩阵的Strassen算法以及矩阵快速幂，，大家稍后见(●‘?‘●)