砝码称重2

Posted 2020-11-23 studywithallofyou

参考

https://blog.csdn.net/livelylittlefish/article/details/3854702

https://www.guokr.com/article/3742

http://yetanothermathprogrammingconsultant.blogspot.com/2016/03/the-weight-problem-of-bachet-de-meziriac.html

http://www2.washjeff.edu/users/mwoltermann/Dorrie/2.pdf

问题：4个砝码，每个重量都是整数克，总重量为40克，放在天平上可以称出1～40克的物体。求这4个砝码各多少克。

最简单的方法，穷举法，不过穷举法性能太低了，当前物品为x（x>0 x<=40），把砝码分成4个（abcd），a+b+c+d=40，n1*a+n2*b+n3*c+n4*d=x，再判断是否有n1*a+n2*b+n3*c+n4*d=（1-40），如果有，就满足。

穷举法太麻烦了，不管是笔试还是正式工作中，都不可能用这个方法。那么有没有其他的方法呢？既然这样说了，肯定是有的。这是一道经典的数学问题-德·梅齐里亚克的法码问题（The Weight Problem of Bachet de Meziriac），也叫巴协 (Bachet) 砝码，原版描述如下

一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.

问这4块砝码碎片各重多少？

上面几篇引用说的比较好，不过呢，不是数学系的，证明就算了。我们直接用得出的结论。记住，这是天平两边都可以放置的结论，还有放置一边的有其他结论。

结论一 ，n个不同的砝码，最大可以表示到(3^n-1)/2的连续正整数。比如这个题目非常巧妙的给定了4个砝码，那么就是3^4=81 81-1=80 80/2=40。也就1-40任意一个整数最少需要4个不同的砝码表示。

结论二，给定最大重量m，使用最少的砝码称得1-m任意一种重量，求每个砝码是多少。因为是可以放天平两边，也可以不放，那么就有3种状态，那么就是3^0 3^1 3^2...3^n。所以如果是40，那么又(3^n-1)/2=40可以得出n=4，那么四个砝码就是[0, 4)3^n，就是1 3 9 27。

这里还可以这一样理解，首先一个砝码都没有，那就是0，0不管放天平哪边，还是不放，都一样，只有一种状态，那么它只能跨度为1，所以0+1=1；到了1，因为可以天平两边都放，包括前面的0，所以有-1 0 1三种状态，那么跨度就是1-（-1）=2，所以下一个是3；到了3，3自己有-3 0 3，包含前面的1，那就是-4 0 4，跨度就是8，那么下一个就是9.

如果是只能放到一边，那么需要的砝码就是2^n，1 2 4 6 8

int main()
{
    int num = 0;
    cin >> num;
    //(3^n-1)/2
    num = num * 2 + 1;
    int n = 0;
    while (num > 1)
    {
        num = num / 3;
        n++;
    }
    int fmweight = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (i == 0)
        {
            fmweight = 1;
        }
        else
        {
            fmweight = fmweight * 3;
        }
        cout << fmweight << " ";
    }
    char inchar;
    cin >> inchar;
}