图论----同构图(详解)

Posted 2020-09-18

图论当中的术语，假设G=(V,E)和G1=(V1，E1)是两个图，如果存在一个双射m：V→V1，使得对所有的x,y∈V均有xy∈E等价于m(x)m(y)∈E1，则称G和G1是同构的,这样的一个映射m称之为一个同构，如果G=G1，则称他为一个自同构。

简单来说，同构图的结点数必须相同，结构必须相同。

如图3.6，第一个图形和第二个图形的区别在于环的数量。第一个图形为一个环，第二个为两个环，所以不是同构图。

若删去z1和u1，删去v1和w1，连接z1和w1，成为一个v1u1的链和z1w1x1y1的环，依旧不是同构图，因为必须环数相同，链数相同。

但这还是缺少一个条件，比如图形A存在两个环a1和a2，a1有3个结点，a2有5个结点，图形B也有两个环，b1有4个结点，b2有4个结点，依旧不是同构图，这里的条件就是环上或链上的借点数相同，和结点顺序无关。

 

引入例题，HDU3926-Hand in Hand ，判断两次组成的图形是否是同构图。

思路之一：通过并查集确定环数/链数，和环内/链内的人数，再排序进行比较。

排序时按照人数排序，若人数相同要按照状态排序。注意这几点或许会比较容易过。

请先自己进行尝试，尝试后再参考代码。

 1     #include<iostream>  
 2     #include<cstring>  
 3     #include<cstdio>  
 4     #include<math.h>  
 5     #include<vector>  
 6     #include<algorithm>  
 7     #include<queue>  
 8     #include<set>  
 9     using namespace std;  
10     int pre[10100];  
11     struct e{  
12         int a,b;  
13     };  
14     e s1[10010];  
15     e s2[10010];  
16     int find(int x)  
17     {  
18         while(x!=pre[x])  
19             x=pre[x];  
20         return x;  
21     }  
22     int cmp(e a,e b){  
23         if(a.a==b.a) return a.b>b.b;  
24         else return a.a>b.a;  
25     }  
26     void init(int n)  
27     {  
28         for(int i=1;i<=n;i++)  
29             pre[i]=i;  
30     }  
31     int main()  
32     {  
33         int t,cas=1;;  
34         scanf("%d",&t);  
35         while(t--)  
36         {  
37             for(int i=1;i<10010;i++)  
38             {  
39                 s1[i].a=1;s1[i].b=0;  
40                 s2[i].a=1;s2[i].b=0;//最开始每个都是独立的，默认为链  
41             }  
42             bool flag=false;  
43             int n1,m1,n2,m2;  
44       
45             scanf("%d%d",&n1,&m1);  
46             init(n1);  
47             for(int i=0;i<m1;i++)  
48             {  
49                 int a,b;  
50                 scanf("%d%d",&a,&b);  
51                 int dx=find(a);  
52                 int dy=find(b);  
53                 if(dx!=dy)  
54                 {  
55                     pre[dx]=dy;  
56                     s1[dy].a+=s1[dx].a;  
57                     s1[dx].a=0;//把拉手的孩子数量加起来，下同  
58                 }  
59                 else s1[dy].b=1;//成环  
60             }  
61       
62             scanf("%d%d",&n2,&m2);  
63             init(n2);  
64             for(int i=0;i<m2;i++)  
65             {  
66                 int a,b;  
67                 scanf("%d%d",&a,&b);  
68                 int dx=find(a);  
69                 int dy=find(b);  
70                 if(dx!=dy)  
71                 {  
72                     pre[dx]=dy;  
73                     s2[dy].a+=s2[dx].a;  
74                     s2[dx].a=0;  
75                 }  
76                 else s2[dy].b=1;  
77             }  
78             if(n1==n2){  
79       
80             sort(s1+1,s1+n1+1,cmp);  
81             sort(s2+1,s2+n2+1,cmp);//排序，若孩子的数量相同则对是否是环进行排序，这里要注意  
82       
83                 for(int i=0;i<n1;i++)  
84                 if(s1[i].a!=s2[i].a||s1[i].b!=s2[i].b) {//判断数量，状态  
85                     flag=true;  
86                     break;  
87                 }  
88             }  
89             if(n1!=n2)    flag=true;  
90       
91             if(flag) printf("Case #%d: NO\n",cas++);  
92             else printf("Case #%d: YES\n",cas++);  
93         }  
94         return 0;  
95     }