第5章 图论
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第5章 图论
一、图的基本概念
1.图的同构定义
设G=(V,E)和G’=(V’,E’)是两个图，如果存在V到V’的一一对应f使得
u
w
∈
E
(
u
w
→
∈
E
)
⇔
f
(
u
)
f
(
w
)
∈
E
′
(
f
(
u
)
f
(
w
)
→
∈
E
′
)
u w \\in E(\\overrightarrow{uw} \\in E) \\Leftrightarrow f(u)f(w) \\in E'(\\overrightarrow{f(u) f(w)} \\in E^{\\prime})
uw∈E(uw∈E)⇔f(u)f(w)∈E′(f(u)f(w)∈E′)
则称G与G’同构,并且称f是称G到G’的同构映射
完全图
K
5
K_5
K5,相互同构的图G和H
二、通路、回路与连通性
1.通路与回路
简单通路:边全不相同的通路称为简单通路
基本通路:结点全不相同的通路称为基本通路
回路:起点和终点相同的通路称为回路
简单回路:边全不相同的回路称为简单回路
基本回路:结点全不相同的回路称为基本回路（除去起点和终点）
2.连通性（若非平凡无向图G的任两点间都是可达的,则称G是连通图,否则称G是不连通图）
若非平凡有向图G忽略边方向后得到的无向图是连通的,则称G是连通的,否则称G是不连通的
设G是非平凡有向图，若G的任两点间都是相互可达的,则称G是强连通的
若G的任两点间至少一向可达的,则称G是单向连通的
若G忽略边方向得到的无向图连通,则称G是弱连通的
对有向图,
强
连
通
⊂
单
向
连
通
⊂
连
通
=
弱
连
通
强连通 \\subset 单向连通 \\subset 连通=弱连通
强连通⊂单向连通⊂连通=弱连通
三、图的矩阵表示
1.矩阵乘法
设A为
m
×
p
m \\times p
m×p的矩阵，B为
p
×
n
p \\times n
p×n的矩阵，那么称
m
×
n
m \\times n
m×n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB，其中矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为
(
A
B
)
i
j
=
∑
k
=
1
p
a
i
k
b
k
j
=
a
i
1
b
1
j
+
a
i
2
b
2
j
+
⋯
+
a
i
p
b
p
j
(A B)_{i j}=\\sum_{k=1}^{p} a_{i k} b_{k j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\\cdots+a_{i p} b_{p j}
(AB)ij=∑k=1paikbkj=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aipbpj
A
=
[
a
1
,
1
a
1
,
2
a
1
,
3
a
2
,
1
a
2
,
2
a
2
,
3
]
A=\\left[\\begin{array}{lll} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\end{array}\\right]
A=[a1,1a2,1a1,2a2,2a1,3a2,3]，
B
=
[
b
1
,
1
b
1
,
2
b
2
,
1
b
2
,
2
b
3
,
1
b
3
,
2
]
B=\\left[\\begin{array}{ll} b_{1,1} & b_{1,2} \\\\ b_{2,1} & b_{2,2} \\\\ b_{3,1} & b_{3,2} \\end{array}\\right]
B=⎣⎡b1,1b2,1b3,1b1,2b2,2b3,2⎦⎤
C
=
A
B
=
[
a
1
,
1
b
1
,
1
+
a
1
,
2
b
2
,
1
+
a
1
,
3
b
3
,
1
,
a
1
,
1
b
1
,
2
+
a
1
,
2
b
2
,
2
+
a
1
,
3
b
3
,
2
a
2
,
1
b
1
,
1
+
a
2
,
2
b
2
,
1
+
a
2
,
3
b
5
,
1
,
a
2
,
1
b
1
,
2
+
a
2
,
2
b
2
,
2
+
a
2
,
3
b
3
,
2
]
C=A B=\\left[\\begin{array}{ll} a_{1,1} b_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{1,3} b_{3,1}, & a_{1,1} b_{1,2}+a_{1,2} b_{2,2}+a_{1,3} b_{3,2} \\\\ a_{2,1} b_{1,1}+a_{2,2} b_{2,1}+a_{2,3} b_{5,1}, & a_{2,1} b_{1,2}+a_{2,2} b_{2,2}+a_{2,3} b_{3,2} \\end{array}\\right]
C=AB=[a1,1b1,1+a1,2b2,1+a1,3b3,1,a2,1b1,1+a2,2b2,1+a2,3b5,1,a1,1b1,2+a1,2b2,2+a1,3