图论概述

Posted 2020-06-13

 

图的基本概念：有向图和无向图G(V,E)，顶点集合V(G)，边集合E(G)，基图，完全图，有向完全图，稀疏图，稠密图，度数，出度，入度，最小度，最大度，度序列，二部图（二分图），完全二部图，同构，子图，生成树，路径，简单路径，回路，简单回路，连通，连通分量，权值，加权图，顶点数组，邻接矩阵。

序列是可图的：一个由非负整数组成的有限序列如果是某个无向图的度序列，则称该序列是可图的，判断一个序列是否可图，可以使用下述Havel-Hakimi定理。

字图： 设有两个图G(V,E)和G‘(V‘,E‘), 如果V‘包含于V, E‘包含于E, 则称图G‘是图G的子图(subgraph).

生成树（Spanning Tree): 一个无向连通图的生成树是它的包含所有顶点的极小连通子图。这里的极小就是边的数目极小。如果图中有n个顶点，则生成树有n-1条边。一个无向连通图可能有多个生成树。

Havel-Hakimi定理：由非负整数组成的非增序列s：d1, d2, ......,dn(n>=2, d1>=1)是可图的，当且仅当序列 s1：d2-1, d3-1, ......, d(d1+1)-1, d(d1+2),......, dn是可图的。序列s1中有n-1个非负整数，s序列中d1后的前d1个度数(即d2~d(n+1))减1后构成s1中的前d1个数。

Havel-Hakimi定理实际上给出了根据一个序列s构造图的方法。

最常碰见的问题：

（1） 输入一个有向图的顶点数和顶点之间的连接情况，输出该图所有顶点v的出度和入度。

（2）输入一个度数序列，判断是否存在相连的可能性，若存在，用邻接矩阵表示点与点之间的相连关系。