9.5 等价关系

Posted 2020-11-23 spicyarticle

9.5等价关系(Equivalence Relations)

定义:定义在集合A上的关系R是等价关系iff(当且仅当)R具有

1. 自反性(reflexive)
2. 对称性(symmetric)
3. 传递性(transitive)
   这些利用图都易证
   想证明某个关系，也只需证明其具有这三种性质即可

等价类(Equivalence class)与划分(Partition)

设R是定义在集合A上的等价关系。与A中的一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类，记作:[a]_R.
如果b∈[a]_R，那么b叫做这个等价类的代表元.
容易知道，一个等价类的任何元素都可以作为这个类的代表元.

lemma1.
对于定义在A上的等价关系R，以下几个描述等价:

1. aRb
2. [a] = [b]
3. [a]∩[b] = ?

lemma2.
设R是定义在A上的等价关系，那么R的所有等价类构成了A的划分/商集。反之，给定集合A的划分{A_i|i∈I}，那么存在一个等价关系R，它以集合A_i(i∈I)作为它的所有等价类.

利用逆否式(Contrapositive)证明