第二章 2.群中的等价关系 -- 陪集，共轭，正规子群与商群

Posted 2021-02-07 zmshum

  群作为代数结构首先是一个集合，那么元素间可能有各种等价关系，这些等价关系给出了群的划分，也使群自身结构的特异性突出。

 

一、 陪集

 

　　定义　　设$H$是$G$的一个子群，$ain G$，作集合$aH={ax|xin H}$，称$aH$是关于子群$H$的一个左陪集。类似地，可定义右陪集$Ha={xa|xin H}$.

　　　　　　

　　对于陪集，我们有如下性质:

　　(i) $aH$中元素个数与$H$一样。（重新排列定理）

　　(ii) $H$本身也是$H$的一个陪集($eH$, $He$).

　　(iii) $a$在陪集$aH$中，称$a$为陪集$aH$的一个代表。

　　(iV) 设$bin aH$，则有$aH=bH$. 即$aH$中任一元素，均可作$aH$的一个代表。

　　(V) 由此可以定义等价关系 $a,bin G$，若$a^{-1}bin H$, 则$asim b$. 此等价关系给出$G$的一个划分

　　　　$$G=a_1Hcup a_2Hcup...cup a_l H$$.

　　下面重点证明(iV)和(V)。

　　证明:　(iV)　有$b=ah,, hin H$。则对$forall h_iin H$，有$ah_i=b(h^{-1}h_i)$. 即$aHsubset bH$.

　　　　　　　　同理，$bh_i=a(hh_i)in aH$，即$bHsubset aH$. 故$aH=bH$.

　　　　　 (V)　自反: $a^{-1}a=ein HquadRightarrow asim a$.

　　　　　　　  对称: $asim bquadRightarrow a^{-1}bin HquadRightarrow (a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}ain HquadRightarrow bsim a$.

　　　　　　　  传递: $asim b, bsim cquadRightarrow a^{-1}b,,b^{-1}cin HquadRightarrow(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}cin HquadRightarrow asim c$.

 

　　定义　　群$G$中子群$H$的相异陪集个数称为$H$在$G$中的指数，记为$(G:H)$.

　　定理2.3(Lagrange定理)　　$n$阶群$G$的子群$H$的阶$m$是$n$的一个因数。即$n=(G:H)m$.

 

  下面我们来看看群中的其他等价关系。

 

二、 共轭

 

　　定义　　设$a,bin G$，若$gin G$，使得$a=gbg^{-1}$，则称$a$是$b$的共轭元素，$a$与$b$有共轭关系。$b$得到$a$的运算为$b$在$g$下的相似变换。

　　下面我们来看共轭关系也是一种等价关系。

　　(i) 自反　　令$g=e$. 

　　(ii) 对称　　如果$asim b$, 那么$a=gbg^{-1}$. 同时，$b=hah^{-1}$，$h=g^{-1}$。那么$bsim a$.

　　(iii) 传递　　如果$asim b,, bsim c$，那么$a=gbg^{-1},,b=hch^{-1}$. 则$a=(gh)c(gh)^{-1}$, 即$asim c$.

　　由此，共轭关系是一种等价关系。群$G$可按共轭关系分割成一些等价类$A_a={gag^{-1}|forall gin G}$.

　　称$A_a$为群$G$的元素$a$的共轭类，简称为群的$a$类。

　　特别地，${e}$自成一类，以及任意Abel群的各元素自成一类。

　　在$SO(3)$群中，所有绕不同转轴方向，转过同一个$ heta$角的转动全体构成一个类$R( heta)$. 即$SO(3)$可按共轭类$R( heta)$分解

　　$$SO(3)=cup_ heta R( heta),,0leq heta<2pi.$$

　　另外由子群判定定理($a^{-1}bin H$)，可知$gHg^{-1}$也是$G$的一个子群。子群$H$与子群$gHg^{-1}$称为互相共轭的。

 

  下面我们介绍最后一种等价关系。

 

三、 正规子群与商群

 

　　由陪集分解结果，我们可以得到商集合$G/H={H,a_2H,a_3H,...}$. 那么现在的问题是，什么条件下商集合构成一个群--商群?

　　我们知道，对于一个群，首先要定义乘法运算，由于代表元的存在，乘法可以如下定义：

　　$$a_iHcirc a_jH=(a_icirc a_j)H$$.

　　由于这个定义将陪集的乘法转换成代表元的乘法，我们应当证明乘法的结果与代表元的选取无关。

　　如果我们选取代表元$a_ih_i$,$a_jh_j$，那么

　　$$a_ih_i Hcirc a_jh_j H=(a_ih_ia_jh_j)H$$.

　　但现在的问题是$(a_ih_ia_jh_j)H$不一定等于$(a_ia_j)H$，所以这个乘法对一般的群来讲并不是良定义的。我们需要找到一类特殊的群，使此乘法良定义。这类群就是正规子群。

　

　　定义　　若子群$Hsubset G$的所有左陪集和右陪集相等，即$a_iH=Ha_i,,forall a_iin G$. 则称$H$是$G$的一个正规子群或不变子群。

　　注：此定义下，正规子群并不意味着乘法在群中对易。正确的理解应当是$forall a_iin G, h_iin H$，总能找到$h_jin H$，使得$a_ih_i=h_ja_i$. 但反之，Abel群的所有子群自然为正规子群。

　　定理2.4　　如果以$G$的正规子群$H$的陪集全体为集合，那么$G/H$构成群，称为$G$关于正规子群$H$的商群。此群的乘法就是如上所定义的代表元乘法，即$a_iHcirc a_jH=(a_icirc a_j)H$。

　　证明： 首先证明乘法是良定义的。因为正规子群，所以有$h_ia_j=a_jh_k$, $(a_ih_ia_jh_j)H=(a_ia_jh_kh_j)H=(a_ia_j)H$.

　　　　　下面证明四条公理:

　　　　　(i) 封闭性　由于商群已包含所有陪集且乘法结果仍然是陪集，故封闭。

　　　　　(ii) 结合　　$(a_iHa_jH)a_kH=(a_ia_ja_k)H=a_iH(a_jHa_kH)$.

　　　　　(iii) 单位元　　单位元就是陪集$eH=H$.

　　　　　(iV) 逆元　　对$aHin G/H$, 逆元是$a^{-1}H$.

　　

　　$O(3)$在矩阵乘法下构成群，$SO(3)$是$O(3)$子群，且有陪集分解$O(3)=SO(3)cup(-E3)SO(3)$. $SO(3)$是正规子群，因此有商群$O(3)/SO(3)={E3,-E3}$.

 

　　定义　　如果群$G$除了${e}$和$G$以外不存在其他的正规子群，则称$G$为单群。如果$G$除了${e}$外不存在其他的Abel正规子群，称$G$为半单群。