17世纪前后数学发展中的重大事件

Posted 2023-05-15

重大事件!~

17世纪前后,世界著名的数学家有:开普勒,笛卡儿,费尔马,牛顿,莱布尼茨,欧拉等.期间最重要的事莫过于<微积分>的产生了.
十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。 参考技术A 明朝，“开方”和“天元术”分别获得了继承和发展，并另有惊人的成就。

对于开方的研究，在明朝能找到“朱载堉”作为延续，他是一位明朝皇室成员，他的《律学新说》所达到的数学成就和声学成就更是全世界公认的，他的十二平均率是把“根号2开12次方”，精确到了小数点之后的24位有效数字，是一种定量化、精确化的研究方法，是对之前“开方”研究的继承和发展。根据估计如果一个现代人完全使用一些人认为传统算法,要达到这样的精度，什么都不做,也要计算几十年,显然朱载堉采用的算法远比一些人推想的传统算法要更高的效率,否则凭他一人之力十不会达到这样的精度的。

而“天元术”的研究在明朝的延续就是明代数学家“王文素”，他是汾阳人，生于明代成化年间，他用30年的时间，完成了中国算学史上的辉煌巨著《新集通证古今算学宝鉴》一书，简称《算学宝鉴》完成于明嘉靖三年（1524年），全书分12本42卷，近50万字。其实用性之强而被誉为“中国第一珠算书”。

在书中王文素率先用导数逐步迭代求解，用导数解高次方程的算法堪与牛顿媲美，且早于其140年，为中国数学史谱写了光辉的篇章。

王文素解高次方程的方法较英国的霍纳、意大利的鲁非尼早200多年。在解代数方程上，他走在牛顿、拉夫森的前面140多年。

对于西方17世纪微积分创立时期出现的导数，王文素在16世纪已率先发现并使用。

《算学宝鉴》中的“开方本源图”独具中国古代数学传统特色，国外类似的图首见于法国数学家斯蒂非尔1544年著的《整数算术》一书，较《算学宝鉴》迟20年且不够完备。

《算学宝鉴》虽尘封多年，但从对该书的研究可以得出这样的结论：王文素是继宋杨辉、秦九韶和元朱世杰后明代最杰出的数学巨匠，《算学宝鉴》是代表明代数学中兴的最高水平的数学巨著。王文素的数学成就是中国数学史连续性的有力证据。

《算学宝鉴》不愧是一本旷世之作，其成就令人惊骇不已、叹为观之，这部旷世奇书的出现让明朝更显光耀东方，让西方17世纪的那些先行者们顿时黯然失色。

当明朝数学已经达到如此高峰的时候，1643年前的西方科技发展还很不明朗，牛顿和莱布尼兹还没有出生，波义耳和帕斯卡不过是毛孩子，伽利略被判终身监禁，笛卡尔为了回避教廷可能的迫害隐居荷兰。

但是当西方“科技革命”的先行者们一个个开始陆续走上历史舞台的时候，中国却在1644年明朝灭亡以后经历了整整200多年的大倒退。

值得一提的是刚才提到的数学家莱布尼茨还是一位影响深渊的哲学家，他的哲学思想影响了整整几代欧洲哲学家，斯宾诺莎（Spinoza，1632-1677）和莱布尼（Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716）被视为近代德国启蒙哲学的两大元祖，而他们的思想却是深受“中国传统文化”的熏陶。

莱布尼兹在评论《论语》时说：“这部著作并非由孔子亲手著成，而是由他的弟子将其言论加以收集、编辑而成。这位哲学家超越了我们所知道的几乎全部希腊哲学家的时代，他总有着熠熠闪光的思想和格言。”

中国儒家先哲的“仁义礼智信”、“天地君亲师”、“智仁勇”等等一些积极向上的基本观念。中国道家的“大道无为”、“道法自然”讲求的是“天人合一”、“万物和谐”、“自然而然”。中国的传统文化其实是“自然神论”——“大道无为”、“缘生性空”、“道法自然”……不是西方那种“宗教神权”所阐述的有一个缔造万物的神（上帝）并主宰一切。

莱布尼茨赞同中国的“自然神论”或“无神论”，认为中西哲学是可以协调一致的。作为莱布尼茨哲学思想核心的“单子论”及“先定和谐论”受到中国传统哲学的影响，同儒家学说有许多一致之处。

而且中国的易卦启迪了莱布尼茨，促使他将自己的二进制数学发明公诸于世，奠定了以后计算机的理论基础。

斯宾诺莎研究过包括中国在内的东方各种宗教思想，并因此而对基 督 教正统论特别是其至高无上的地位产生怀疑。康德认为，斯宾诺莎的泛神论和亲近自然的思想与中国的老子思想有关。

莱布尼茨是沃尔夫的老师，而德国哲学大师康德是沃尔夫的再传弟子，其之后的费布特、谢林、黑格尔等著名德国哲学家，这些人都无不受莱布尼茨和沃尔夫的影响。

这是近代德国哲学的脉络，他们也代表着欧洲的哲学思想，从他们的元祖“莱布尼茨”和“斯宾诺莎”的思想形成过程来看，他们借鉴了“中华传统文化”的精髓。 参考技术B 梅文鼎
勾股举隅为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，全书一卷，其中的主要成就，是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广。书中首列「和较名义」，其次以两幅「弦实兼勾实股实图」来说明勾股定理，其论说的根据是出入相补原理，
在内容上，本书大致上可分作两部分，一为勾股算术，另一主要为勾股测量。前者梅文鼎对其评价很高，他认为此式「乃立之根也。而其理皆具古图中，学者所宜深玩。」这里的「古图」指的即是赵爽注《周髀算经中》之「勾股圆方图」，对此式的证明也是利用此图来完成的。

值得注意的是，「弦与勾股和求勾股用量法」一题中所用的尺规作图之方法，与徐光启《勾股义》中「勾股求容圆」来作比较，可以发现梅文鼎在尺规作图的概念已相当正确，显示梅文鼎对《几何原本》有一定深度的了解。另外，从梅文鼎在测量问题上所使用的出入相补法来看，其内容相当贴近杨辉乃至於刘徽的作法，有别於明末西方传入的测量方法，这一点颇值得我们来作后续探究

《几何通解》的主要诉求是「以勾股解《几何原本》之根」，梅文鼎的作法是采用传统的勾股方法来解《几何原本》前六卷的部分命题，

其中，梅文鼎花了相当多的篇幅说明「理分中末线」（即黄金比例），其曰：「几何不言勾股，然其理并勾股也，故其最难者以勾股释之则明。惟理分中末线似与勾股异源。今为游心立法之初，而仍出於勾股。」由此，可见梅文鼎对传统勾股术的重视。
勾股定理即为商高定理又叫毕氏定理，我从以前就很喜欢这个东西，第一次接触这个东西的时候，我就觉得很有趣，记得我第一次喜欢数学，是在国小的时候，老师说A：B＝C：D 然后内项相乘会等於外项相乘，我第一次听到觉得好不可思议喔！於是反反覆覆的去计算，真的是这样，於是我觉得数学好有趣。第二次就是商高定理了，我已经忘了是什麼时候，只是a2+b2=c2 让我觉得好有趣，而且我很喜欢三角形，从这之后，我觉得数学是一科还蛮有趣的科目，我就还蛮喜欢数学的。
巴 斯 卡(Blaise Pasacl)

出生年代： 1623~1662

国籍： 法国

著作： 算术的三角形

发明了一 部计算机

生平： 巴斯卡，法国数学学家，物理学家，笃信宗教的哲学家， 散文大师，近代概率论的奠基者。他出生於法国的 Clermont，从童年到短暂的生命结束为止，都体弱不堪，他的父亲曾在他 15岁或16岁前企图禁止他念数学。但巴斯卡在12岁时硬要知道几何的真正面目， 就以所得的资料为基楚，开始自我摸索。17 岁时写成了数学成就很高的圆锥截线论这是他研究狄沙格的关於射影几何的经典工作的结果。布勒兹巴斯加尔是埃登尼巴斯加尔的儿子，埃登尼是麦尔生利的通信人"巴斯加尔坩线（Limacon of Pascal）" 就是 因唉尔登而命名的。布勒兹在父亲的教养下，智慧开发很早，在他十六岁时就发现了"巴斯加尔定理"，这个定理涉及一个内 接於圆锥曲线的六边行。这个定理在1641年印在单页纸上发表，并显示其受笛卡儿的影响。没有几年，巴斯加尔又发明了一 部计算机。在他二十五岁时，他决心到太子港的修道院去过一种冉森派教徒的苦行生活，但仍然继续提供时间来从事於科学 和文学的研究。他论及一种对机率的研究极为有用，而是由二项式的系数所组成的"算术的三角形"的论著在他死后的1664年 出现。他对积分法的论著，极其对无穷小的思辩，这都影响到莱布尼兹。他也是首先建立完全归纳原理令人满意的叙述第一 人。在 1642~1644年间他设计并制造了一个计算装置，原只是为了帮他的父亲计算收税，却因此而闻名於当时，在某种意义 上，就是第一架数字计算机。1646年以前，巴斯卡一家都是信天主教，由於他父亲的一场病，使他和一种更深的宗教信仰有 所接触，对他以后的生活影响很深。1646年他为了检验物理学家伽利略的托里切利理论，制造 了水银气压计，为往后的流体静力学及流体动力学的研究铺平 了道路。在1651~ 1654年，紧张的科学工作，写了关於液体平 衡，空气的重量，和密度及算数三角形等篇论文。后一篇论文 奠定了概率计算的基楚。在1655 ~1659年间又写了许多的宗教著作，但从1659年起疾病使他不能正常工作，最后忍受了巨大 的病痛而逝世。

资料出处： 大英百科全书

狄 沙 格 (Girard Desargues)

出生年代： 1591~1661

国籍： 法国

著作： <试论锥面与平面相截的结果的初稿>(1639)

生平： 狄沙格是法国数学学家，引入射影几何学的主要概念。 他是黎赛留枢机主教和法国政府的技术顾问。根据笛卡 儿传记的作者巴耶所述，狄沙格在1628年和笛卡儿相 识 。他早年的事绩极少人知，约1630年他成为一个数学组 织的成员。他在<论透视截面>(1636)中提出了两个三角 形透视的定理，但并未受到同代人的重视。他最重要的 著作<试论锥面与平面相截的结果的初稿>(1639)对把射 影几何学应用到圆锥截面理论上做了很大胆的创新，这 对他的追随者帕斯卡有了重要的影响。但他在这部作品 中独特得用植物学名词做数学术语，不用笛卡儿符号， 致使该书两百年无人问津。除了他的朋友麦瑟尼，笛卡 儿，帕斯卡，费马以外，他的同僚都称他为狂人。甚至 在笛卡儿得知其提出处理锥线的新方法时，也曾写信给 麦瑟尼说他不相信一个人可以不借助代数方法去处理圆锥曲面，但在看过狄沙格的论文之后，也对他推崇有加，费马认为狄沙格才是锥线理论的创始人， 从他作品中见到宗庙之美，但一般人无法了解，因而有了嫌厌之心，狄沙格也只好归隐於自己的老家。1845年发现他的手稿由於对於射影几何学的兴趣正在复苏，他的贡献的重要性才为人所认定。

罗 必 达 (L'Hospital)

出生年代： 1661~1704

国籍： 法国

著作： 《阐明曲线的无穷小分析》〔1696〕

生平： 洛必达是一位法国的数学家，1661年出生於法国的贵族家庭，1704年2月2日卒於巴黎。他曾受袭侯爵衔，并在军队中担任骑兵军官，后来因为视力不佳而退出军队，转向学术方面加以研。在他15岁时就学会解旋轮线的问题。稍后他放弃了炮兵的职务，投入更多的时间在数学上，在瑞士数学家白努利的门下学习微积分，并成为法国新解析的主要成员。 洛必达的<<无限小分析>>(1696)一书是微积分学方面最早的教科书，在十八世纪时为一模范著作，书中创造一种算法(洛必达法则)，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，洛必达於前言中向莱布尼兹和白努利致谢，特别是Jean Bernoulli。洛必达逝世之后,白努利发表声明该法则及许多的其它发现该归功於他。洛必达的著作尚盛行於18世纪的圆锥曲线的研究。他最重要的著作是《阐明曲线的无穷小分析》〔1696〕，这本书是世界上第一本系统的微积分学教科书，他由一组定义和公理出发，全面地阐述变量、无穷小量、切线、微分等概念，这对传播新创建的微积分理论起了很大的作用。在书中第九章记载著约翰第一‧伯努利在1694年7月22日告诉他的一个著名定理：「洛必达法则，则求一个分式当分子和分母都趋於零时的极限的法则。后人误以为是他的发明，故「洛必达法则」之名沿用至今。洛必达还写作过几何，代数及力学方面的文章。他亦计划写作一本关於积分学的教科书，但由於 他过早去逝，因此这本积分学教科书未能完成。而遗留的手稿於1720年巴黎出版，名为《圆锥曲线分析论》。

资料出处： 数学史-数学思想的发展（上册）P414 和网站窝狼居(www.mcjh.kl.edu.tw/usr/jks/jks.htm)

笛 卡 儿 (Descartes)

出生年代： 1596~1650

国籍： 法国

著作： 《论世界》《方法论》《形而上学的沉思》及《哲学原理 》《几何学》

生平： 笛卡儿是法国著名的哲学家、数学家、物理学家及自然科学家。他於 1596年3月31日出生於图伦一贵族家庭。童年就读於拉弗莱什公学时，因体弱多病，被允早晨在床上读书，渐渐养成一种喜爱宁静，擅於思考的习惯。在校内更结织了密友梅森。1612年，他到巴黎普瓦捷大学供读法律，四年后获颁博士学位，并成为律师。当时法国社会的有志之士，不是致力宗教，便是献身军事，这种风气甚为盛行，这驱使笛卡儿於1618年往荷兰从军。服役期间，他仍对数学感兴趣。某日休息，他在街上散步时受一荷兰招贴所吸引，但因不懂荷兰文，於是请身边的人译成拉丁文或法文。恰巧这人是多特学院院长毕克门。经此翻译，笛卡儿才得悉这是一张当时数学家所下的「挑战书」，广徵上列难题答案。笛卡儿竟在数小时内求得答案，使毕克门大为佩服
。1621年，笛卡儿脱离军队返法，但适逢内乱，於是游历於丹麦、德国、意大 利等地。直至1625年才返回法国，与梅森等人一起研 讨数学。1628年移居荷兰，并通过数学家梅森神父，与欧洲主要学者保持密切联络。闲时更从事数学、天文学、物理学、化学及生理学等领域的研究。他所有著作几乎全是在荷兰完成的。他的主要著作有指导哲理之原则;〔1628年写成〕，以哥白尼学说为基础之《论世界》1634年完成，但因伽利略受教会迫害而未出版〕，《方法论》1637年6月8日於莱顿匿名出版，《形而上学的沉思》及《哲学原理 〔1644年出版〕。
1649年冬，他应邀到斯德哥尔摩为瑞典女皇克利斯提娜授课。最后，这位以创立解析几何而闻名的数学家因肺炎於1650年 2月11日在当地病逝。笛卡儿早在读书时期，已怀疑和反对统治欧洲思想界的经院哲学。多年来的游历与多方面的科学研究，加上与社会各阶层人士之交往及不断的自我反思，使他坚信必须抛弃经院哲学，探求正确思想方法，创立为实践服务的哲学，才可成为自然的主人与统治者 」。 他认为数学是其他一切科学之理想与模型，提出了以数学为基础，以演绎法为核心的方法论及认识论，成为西方近代哲学创始人之一，对后世的哲学、数学及自然科学起了巨大作用。而且他还一直为捍卫他的学说而和教会及其他反对势力抗衡。此外，他於1637年以法文写成的《方法论》〔最早的一部著作〕，附设三短论及一篇序言分别为：《折光学》、《气象学》、《几何学》及《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》。当中以《几何学》为代表作，亦因此确立了他於数学史上之地位。这亦是他唯一的数学论著。全书共分三卷，内容分析了几何学与代数学的优劣，表示要寻求另一种包含两者好处而没有两者劣处的方法。在卷一中，他把几何问题化作代数问题，提出几何问题的统一作图法：以单位线段及线段的加、减、乘、除、开方等概念，将线段和数量联系起来，通过线段间的关系设立方程。在卷二中，他以这新方法解决帕普斯问题时，在平面上以一直线为基线，为它规定一起点及选定与之相交的另一直线，三项分别为 x轴，点及 y轴，形成一个斜座标系。 此时，该平面上的任何一点位置均可以〔x，y〕唯一地表示。帕普斯问题便化为一含两个未知数的二次不定方程。他指出方程的次数与座标系的选择无关，因此可依方程的次数
将曲线分类。
在卷三中，他指出方程可有与它的次数一样多的根，且提出笛儿符号法则：方程正根的最多个数等同其系数变号的次数；其负根〔假根〕的最多个数等同符号不变的次数。笛卡儿还以a，b、c，……表示已知量及x，y，z，……表示未知量去改进韦达所创的符号系统。《几何学》提出了解析几何学之主要思想与方法，这标志著解析几 何学之诞生。笛卡儿毕生专注於各项知识部门的研究，为人类的科学宝库带来丰厚的成果，对后世的研究影响深远。

资料出处： 数学史-数学思想的发展

棣 美 弗 (Moivre Abraham de)

出生年代： 1667~1754

国籍： 法国

著作： 论赌博法

生平： 数学家,发现解析三角和概率论的先驱.生於法国,是喀尔文派新教徒.1685年因保护喀尔文教徒的南特令被废除而监禁. 不久获释,迁居伦敦,成为牛顿和哈雷的挚友.1697年被选为伦敦皇家学会会员,后又被选为柏林科学 院和法国科学院院士. 尽管他是著名的数学家,但无固定工作,靠当家庭教师和赌博与任保险顾问谋生.1718年,他把1711年在((皇家学会会报))(Philosophical Transactions)上连载的论文((论赌博法))(Demensura sortis) 扩充为''机遇说((The Doctrine of Chances)) 一书.虽然现代概率论肇始於巴斯葛(Blaise Pascal)与费马(Pierre de Fermat)之间未发表 的通信 (1654)和惠更斯 (Christiaan Huygens) 的论文关於赌博中的推断 (De Ratiociniis in Ludo Aleae,1657), 但棣美弗的著作大大推进了机率论的研究.所谓统计独立的定义, 即各独力事件的积的机率等於各独立事件机率的乘积,最先是在棣美弗的((机遇说))中说到的.他的第二篇关於概率论的著作是((综合分析))(Misellanea Analytica,1730)
他第一个使用概率积分,这种积分的被积函数是exp(-x*x) 又首创斯特凌公式,即对於大数 n！但这公式却被误认为是英国的詹姆斯.斯特凌(1692-1770)最先提出的.1733年他利用斯特凌公式导出正态频率曲线作为二式项定理的近似.他是最早在三角学中应用复数的人之一.以他命名的棣美弗公式对始三角学从几何领域进入分析领域起很大作用.

资料出处： 大英百科全书

费 马 (Fermat Pierre de)

出生年代： 1601~1665

国籍： 法国

生平： 费马是法国数学家费马於1601年8月17日在法国南部德洛马涅出生。早年在家乡受教育，后来进入图卢兹大学攻读法律，毕业后任职律师，自1631年起担任图卢兹议会议员。其间他於空闲时间专研数学，并常以书信与笛卡儿，梅森等名学者交往，讨论数学问题。他饱览群书，精於数国的文字，掌握多门科学的知识。虽然年近30才认真注意数学,但成就累累。最后於1655年在卡斯特尔逝世。他生前由於性情淡泊，为人谦逊，因此较少发表论作，大多成果只留在手稿，通信，或书业之空白处。他的儿子在1679年将其遗稿整理成书在图卢兹出版。费马与笛卡儿同为17世纪上半期的首要数学家，近代数论中，在一个世纪后的欧拉之前，无人能与之匹敌。他独立於笛卡儿发现了解析几何的基本原理。由於所设想求曲线的切线及其极大极小点的方法而被认为是微积分的先驱。通过了巴斯卡的通信，成为了概率论的共同创办人之一。在1629年，他开始重写几何学家阿坡罗尼乌斯久以失传的<<平面轨迹>>，不久发现透过座标将代数用於几何，轨迹的研究将会易於进行。在光学中，费马应用了极大极小的方法，揭示了光线的折射定律同他的"最短时间原理"相吻合。受到<<算术>>一书的影响，费马在数论得到很多新的结果。最出色的结果之一是4n+1的素数均能唯一的表示为两个平方数之和。费马所提出的定理中，有两个分别被称为大定理与小定理，前者又称为最后定理。小定理是费马给他的朋友福兰尼可的信中提出的，其内容是p为质数，a p互质，则a的p次方减a能被p整除。大定理是---若n2则方程式没有整数解。费马在书中的空白处写下了这个定理，也发现了奇妙的证明方法，只是空白处不够而未将其写下。由於他在数论，解析几何，概率论，等方面的贡献良多，被后世誉为"业余数学家之王" 。

资料出处： 数学史-数学思想的发展（上册）P296和网站窝狼居(www.mcjh.kl.edu.tw/usr/jks/jks.htm)

罗 伯 勃 (Gilles Persone de Roberval)

出生年代： 1602~1675
国籍： 法国

生平： 罗伯勃是法国数学家。在曲线几何上有重大发展。1632年任巴黎法兰西学院教授。研究了却定立体的表面积和体积的方法。罗伯勃常与当时的数学家进行科学论战，包括数学家笛卡儿。罗伯勃在他的(Trait des indivisible) (虽然迟至1693年才发表，才1634年起就有其纪录)中，将阿基米德在螺线上求切线的方法一般化，与阿基米德一样，罗伯勃把曲线看成动点的轨迹，它受两种速度的作用，例如从炮口上射出的抛物体，受到水平速度，和垂直速度的作用，其合成速度为边的长方形之对角线；罗伯勃把这种合成向量当作曲线在P点之切线；根据托里拆利的解说，罗伯勃德方法是利用伽利略所论断的一个定理：水平速度和垂直速度是互相独立的。将切线当作合成速度的说法，远叫希腊时代将切线当作与曲线相触的直线为复杂，前者成处理许多后者不能处理的问题。再将纯几何与动力学联结的作用上，它是一个非常重要的角色；在伽利略之前，纯几何与动力学是各自为政的。换句话说，这种切线观使数学园地实体化，因为它是以物理观念来定义切线。但有许多曲线和运动无关，此时切线就无由而生，所以需要以其他的方法来寻求切线。

资料出处： 数学史-数学思想的发展（上册）P371

伯 斯 (Abraham Bosse)

出生年代： 1602~1676

国籍： 法国

著作： Maniere universelle de M.Desargues,pour pratiquer la- perspective

生平： 从事射影几何(Projective Geometry)的研究，为名数学家迪沙格(Desargues)的挚友，且将笛氏的一些重要的三角定理和其他定理加以整理。

资料出处： 幼狮数学大辞典
编辑者 涂昱安

张 诚 (Gerbillon Jean-Francois)
出生年代： 1654~1707

国籍： 法国

著作： ＜实用和理论几何学＞＜几何原本＞的汉文＜算法纂耍总纲＞＜测量高远仪器用法＞和＜比例规解＞

生平： 法国数学家，公年1687年来华，取中文名张诚，精通天文数算，曾任清康熙帝教师、讲授墨法，测算等西学。其中几何学为法人巴蒂所著之＜实用和理论几何学＞，此外还有＜几何原本＞的汉文 ，本及＜算法纂耍总纲＞＜测量高远仪器用法＞和＜比例规解＞等书。对於康熙主办＜数理精蕴＞的巨著编制影响甚大。

福 兰 尼 可 (Frenicle de Bessy Bernard)

出生年代： 1605～1675
国籍： 法国

生平： 法国代数学家，为伟大数学家费马的至友，费马曾於1640年十月十八日致函说明minor 定理，其内容为：若p为质数，a，q互质，则能被q整除。关於major Fermat“定理”认为若n>2，则方程式无 整数解。费马曾提到用无限前推法以证明n=4的情形，来述细节后福兰尼可在所发表之著作 ：Traite des triangles rectangles annombres (既关於直角三角形的数学性质)证明了n=4的过程，该论著在他死后之次年发表，后刊於in.de I'Acad, des Sci, Paeis, 5,1729, 83-166。

白 晋 (Bouvet Joachim)

出生年代： 1656~1730
国籍： 法国

生平： 法国数学家，白晋为抵华后所取中文名，通晓天文、历法和数算。十七世纪初叶，法国势力日益强，大法路易十四世拟拓展劫力至东，方故派遣多位传教士前来中国，白晋(又名白进)为其中著名数学家，公元1687年来华滞留京城“供奉内廷”，曾任清朝康熙帝的教师.

佩 蒂德.比利(Jacques de Billy)

出生年代： 1602~1679
国籍： 法国
著作： 数论
生平： 1602年3月18日生於瓦兹。曾在里昂当数学教师。1679年1月14日逝世。
德.比利与费马就数论方面问题有过书信往来，他还研究过算术。曾提出一系列问题，这些问题引起了许多数学家的关注，有的被欧拉等人解决。

资料出处： 静宜大学一楼资料库(数学家的辞典P.153)索书号：R/310.9904/1731/

编辑者 吴明忠

德.伯利(Jacques de Billy)

出生年代： 1601~1652
国籍： 法国
著作：
生平： 德.伯恩，又称伯恩。当过军官和法官。德.伯恩是第一个领会笛卡儿数学思想的人，他也有不少数学研究的成果发表於笛卡儿的「几何学」里。首先提出方程式ax+by=c确定一条直线的观点几何学文章数篇

资料出处： 数学家的辞典P.153

J Bernier, Histoire de Blois (Paris, 1682), 563-568.

P Costabel, Florimond de Beaune, érudit et savant de Blois, Revue d'histoire des sciences 27 (1974), 73-75.

P Costabel, Le traité de l'angle solide de Florimond de Beaune, in 1968 Actes du Onzième Congrès International d'Histoire des Sciences, Sect. III : Histoire des Sciences Exactes (Astronomie, Mathématiques, Physique) (Wroclaw, 1968), 189-194.
A Thibaut, Florimond de Beaune, Bull. de la Soc. des sciences et lettres du Loir et Cher 4 (1896), 13-29.
编辑者 ： 吴明忠

法里布丁(Honoré Fabri)

出生年代： 1607~1688
国籍： 法国
著作： 几何学概述(1669年)
正弦曲线与割线的几何学研究(1659年)
生平： 法布里，1607年4月5日出生。他是卡瓦列里的学生。1688年3月8日逝世。正弦曲线这一术语就是他在其著作中，首先引入的。Honoré Fabri在 1626 年参加了耶稣会命令，花费两年在亚维农。在1628年他进入了里昴的耶苏会学院学习哲学，从1632到1636在里昴继续研究神学。在 1635年时他被任命了他的第一个职位是耶苏学院中，即作为1636到1638年中哲学的教授。耶苏会学院的更进一步的位置跟随了他。在他在学院那时, 1638年一年中他成了逻辑学的教授，而在1640年之后六年中，他更成为在耶苏会学院中逻辑和数学两项的教授。他写了多於三十个著作，一些它回顾了在哲学会议录中。Fabri 是由耶苏教会学院产生的许多著名教授第一个；他的学生包括了Pierre Mousnier，Francois de Raynaud，Jean-Dominique Cassini和Philippe de La Hire。他是用 Gassendi 到友谊里领导的数学家的一个圆圈的领导者他，莱布尼兹，Mersenne ，笛凯尔和两个 Huygenes (父亲和儿子) , 克劳德 Dechales 和 Berthet 。 Fabri's 的极大活动的注意力在於，土星的环，潮汐的理论，磁力学，光学设备，和动力学中的几乎所有紧急科学问题。在数学中，无穷小方法和连接区问题更显著。 Fabri 试图为基础以月亮的行动的潮水现象的解释。把 Fabri 也看作 Jansenism 错误的最好的专家。在他的紧密朋友中间是耶苏会伙伴和他的在学院的同学Père Lachaise，在他以后在巴黎中命名为这个著名墓地。在1646时Fabri去到罗马，他在那遇到了瑞希，他参加了调查涉及学院的问题而入狱。因为他自己不能相信宗教问题和他相信的哲学被控告了。笛卡尔在他回到罗马关入监狱中和在1668到69年中花费一年以后回到法兰西。经由瑞希他相识利奥波德大公爵II并且Fabri不久后就从监狱解脱了。 Fabri 对天文学，物理学和数学工作。 在 1660 年他所研究土星环的一个主题，使他和Huygens在争论方面变得复杂而且持续了五年。 他也发现了这个仙女座星云。Fabri 发展了基於月亮的行动的潮汐理论。他也研究了磁，光学设备和微积分。 在微积分中他比Cavalieri更接近牛顿且他的标记法较麻烦。他在微积分方面的工作在他的主要数学出版物方面出现了几何小品。由於关於由产生的摆线的争论写了这本书向巴斯卡挑战。Fabri在这个工作方面计算了。

Honoré Fabri尽力沿著几何学的线统一所有物理学。在皇家协会的哲学会议录中描述了这个努力，" 涉及他的方法他已经 几何学方法中领悟了整个物理学。也给为什麼这个天空是蓝的第一个合理解释的 Fabri 发现了毛细管弥散，使他的原因以光的弥散为基础。他应用这个微积分到这个新近发明的物质世界迅速和他应用得是第一个为伽利略的表明物体在同等时间中落下同等距离的实验提供一个使人信服原因。伽利略依次由於另一个耶苏会徒Niccolo Cabeo，S.J. 的著作首先变得对问题感兴趣。 在亚历山大下教皇他的关於伽利略情况的声明在监狱里 50 天带来了 Fabri VII，并且仅仅由利奥波德 II的干涉释放了他。他仍然在他的 Dialogi physici ( 1665 ) 授权的" de motu terrae " 中放了一章节 (" 涉及地球的运动" )。Fabri's 的摆线的具有创造才能正交鼓舞了年轻 Gottfried 莱布尼兹。Issac 牛顿宣称他首先从Honoré Fabri的著作听到了 Grimaldi's 的光衍射的教学。

资料出处： 数学家的辞典P.169
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.html
http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/sj/scientists/fabri.html
编辑者 ： 柯亿振

奥扎南(Jacques Ozanan)

出生年代： 1640~1717
国籍： 法国
著作： 字典(1690年)
数学教程(1693年)
数学与物理学游戏
生平： 奥扎南，1640年出生。1701年成为巴黎科学院院士。1717年逝世。他主要研究代数和几何学。他於1690年发表了著作「字典」，其中对『解析』这一术语进行的解释是：用代数方法进行分析。他承认四维空间，但存在於想像空间。

资料出处： 数学家的辞典P.44
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.html
编辑者 ： 吴明忠

卡尔加维(Pierre de Carcavi)

出生年代： 1600~1684
国籍： 法国
生平： Pierre de Carcavi 没有正式大学的文凭。在1632年到1636年之间，他是Toulouse议会的顾问。事实上，1632年他第一次遇到费马，当他们都是Toulouse议会的成员而且他们仍是朋友。1636年Carcavi在巴黎的Grand Conseil议会买了一间办公室。 1648年，无论如何，连续的艰苦打击。

数论重大突破：120年后，希尔伯特的第12个数学难题获得解决

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转载于 ：机器之心

德国数学家大卫 · 希尔伯特提出的 23 个问题对二十世纪现代数学的发展起了非常积极的推动作用。这 23 个问题涉及了基础数学、数论、代数和几何以及数学分析等多方面，其中的大多数已经得到圆满或部分解决。其中未解决的第 12 个问题「一般代数数域的阿贝尔扩张」终于在百年之后得到了解决，还是以一种意想不到的方式解决。

德国数学家大卫 · 希尔伯特（David Hilbert）是二十世纪最伟大的数学家之一，被后人称为「数学世界的亚历山大」。他对数学领域做出了广泛和重大的贡献，研究领域涉及代数不变式、代数数域、几何基础、变分法、积分方程、无穷维空间以及物理学和数学基础等。1899 年出版的《几何基础》成为近代公理化方法的代表作，且由此推动形成了「数学公理化学派」。

David Hilbert。

1900 年 8 月 8 日，在法国巴黎举办的第二届国际数学家大会上，大卫 · 希尔伯特提出了新世纪数学家应当努力解决的 23 个问题。这 23 个问题统称「希尔伯特问题」，共分属四大块：1 至 6 属于基础数学问题，7 至 12 属于数论问题，13 至 18 属于代数和几何问题，19 至 23 属于数学分析问题。这些问题成为了后世数学家们努力攻克的难关，并对现代数学的研究和发展产生了积极和深刻的影响。

一个多世纪过去了，这些问题中的大多数得到了圆满解决或部分解决，但有些依然未能解决，其中包括第十二个问题「一般代数数域的阿贝尔扩张（Abelian extension）」。就其定义而言，阿贝尔扩张是一类重要的域扩张，设 K 是域 F 的伽罗瓦扩域，若其伽罗瓦群 G(K/F) 为一阿贝尔群，则称此扩张为阿贝尔扩张，此时，K 称为 F 上阿贝尔扩域。

1912 年，德国数学家埃里希 · 赫克使用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形，虚二次域的情形用复乘理论已基本解决。一般情况下的阿贝尔扩张则尚未解决。

图源：wikipedia。

其实，在希尔伯特提出他的 23 个问题清单前不久，数学家们就发现了一些与有理数相关的特定数字的构建块，其中这些有理数可以使用整数比例来表示。巧合的是，这一发现是解决第 12 个问题的基础，要求寻找与有理数以外的数字系统相关的构建块。

经过数学家们数十年不断的研究探索，今年 3 月初发表在 arXiv 上的论文《Brumer–Stark Units and Hilbert’s 12th Problem 》终于描述出了希尔伯特 100 多年前寻找的用于广泛数字系统的构建块，但是得出的答案依赖一些非常现代的观点。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2103.02516.pdf

论文作者分别是杜克大学数学系教授 Samit Dasgupta（左）和印度科学研究院数学系教授 Mahesh Kakde（右）。

对于这项研究，美国数学家、加州大学圣地亚哥分校和哈佛大学名誉教授 Benedict Gross 表示：「这是我们期待已久的事情，他们确实取得了一项重大突破。虽然与希尔伯特的想法完全不同，但这就是数学的魅力。你永远无法预测以何种方式解决问题。」

在解读这两位数学家的研究成果和方法前，我们首先来了解下希尔伯特第 12 个问题的数论基础以及百年来数学家们在此问题上做出的种种努力和尝试。

数论基础：表达式的根

希尔伯特第 12 个问题是建立在数论基础上，是研究数字的基本算术性质，包括多项式表达式的解，比如 x^3 + 2x − 3。特别地，数学家经常研究这些表达式的根，使多项式等于零的 x 的值。

数论家经常根据多项式的系数类型来分类多项式。以有理数为系数的系数相对简单，是研究的共同目标。

「我们从有理数开始，」杜克大学的数学家 Samit Dasgupta 说，他是这项最新研究的作者之一，还有一位合作者是来自印度科学研究院数学系教授 Mahesh Kakde。并表示道：「这是数论的基本系统。」

有时有理系数多项式的根本身就是有理数，但情况并非总是如此。这意味着数学家想要找到所有有理数多项式的根，需要在一个展开的数系统中寻找：复数，包括所有有理数和实数，加上虚数 i。

当在复平面上绘制多项式的根时，实数沿着 x 轴，纯虚数沿着 y 轴，某些对称性就会出现。这些对称性可以用来重新排列这些点，排列它们的位置。如果你能以任何顺序应用对称性得到相同的结果，那么多项式是阿贝尔式的。但是如果你应用对称性的顺序改变了结果，那么这个多项式是非阿贝尔式的。数论家对阿贝尔多项式最感兴趣，同样是因为它们的简单性，但它们很难区分。例如，x^2− 2 是阿贝尔式的， x^3 − 2 则不是。

来自俄勒冈大学的 Ellen Eischen 说：「要想得到非阿贝尔式，你不必走得很远。」

除了这些对称性之外，阿贝尔多项式还有一个显著的特点，那就是试图用简单而准确的术语来描述多项式的根。例如，很容易准确地描述多项式 x^2−3 的根：多项式的根是正负根 3。但是对于指数较大的复杂多项式来说，要写出它的根是很困难的。

当然，也有变通的办法，「你可以用数字来近似『多项式的根』，」Eischen 说。但如果你想用一种明确的方式写下来，只能用有限的方式来写。

然而，具有有理系数的阿贝尔多项式是特殊的：总是可以从固定的构建块集合中精确地计算它们的根。这个发现被证明是如此的强大，它启发了希尔伯特提出了他的第 12 个问题，而这一切都归功于一组被称为单位根的数字。

单位根

单位根是一个看似简单却非常重要的概念。数值上，它们是多项式的解，其中，变量的幂被设为 1。比如， x^5 = 1 或者 x^8 = 1。这些解是复数，它们由指数中的数字表示。例如，5 次单位根就是 x^5 = 1 的五个解。

但是单位根也可以用几何来描述，而不用方程。如果把它们画在复平面上，这些点都在一个半径为 1 的圆上。如果你把圆看作一个时钟，那么在 3 点钟指向，你总会有一个单位根，其中 x=1，因为 1 对任何幂仍然是 1。剩下的单位根在圆的周围等间距分布。

19 世纪，在希尔伯特提出数学问题清单之前，数学家们发现，单位根可以作为他们想要研究的特定数字集合的「构建块」：具有有理系数的阿贝尔多项式的根。如果你把单位根简单地组合（用有理数加、减、乘）起来，你就能描述出所有这些期望的根。例如，5 的平方根是阿贝尔多项式 x^2-5 的根，并且可以表示为不同五次单位根的和。这与素数构建整数块的方式类似。

因此，单位根需要精确的构造块，你需要用有理系数完美地描述阿贝尔多项式的根。另一方面，任何单位根的组合都会产生一个数，这个数是某个有理系数阿贝尔多项式的根。这两者有着千丝万缕的联系。

希尔伯特在提出他的第 12 个问题时，想要让数学家们找到阿贝尔多项式根的构造块，它的系数来自有理数以外的数系统。换言之，对于其他数系统单位根有什么相似之处？

几十年未解决的难题

这是一个雄心勃勃的问题，这也是它出现在希尔伯特清单上的原因。他猜想这个问题是可以回答的，因为他在提出这个问题时，就对另一种数字系统（称为虚二次域）组成构建块的描述方式有一个构想——大体上，该系统仅包含有理数和负数的平方根。几十年后，他的猜测被证明是正确的。

伦敦帝国理工学院的 Alice Pozzi 说：「该问题有两种情况：『有理』情况和虚二次域情况。」希尔伯特希望以与这两种已知情况相似的方式描述其他数字系统的基本组成。这意味着要使用复分析（一种研究复函数的数学理论）。

但是在 20 世纪 70 年代，希尔伯特的第 12 个问题已经提出几十年之后，数学家 Harold Stark 猜想可以借助 L 函数破解这个问题。

L 函数是一类重要的复变数函数，通常以无穷级数表示，它是黎曼ζ函数的推广，黎曼ζ函数如下：

几个世纪以来，数学家都知道 L 函数是神秘并且极有意义的，它们给出了π等重要常数的无穷级数表示法。

在这种直觉的基础上，Stark 能够使用 L 函数来模拟其他数字系统的单位根。然而，尽管数学家认为 Stark 的猜想是正确的，并且已经使用计算机分析法对其进行了广泛的测试，但他们并没有获得任何成功的证明。

Darmon 说：「据我们所知，要证明 Stark 的猜想真的很困难，五十年来几乎没有任何进展。」因此，Stark 的猜想只是提供了一个简单的思路，他猜想可以使用 L 函数从其他数字系统找出含系数阿贝尔多项式的根的构建块，但是没人知道如何证明这一点。

更糟糕的是，Stark 的方案只提供了实际描述组成构件块所需要的一半信息。就像要在地图上寻找一个位置，只提供了经度，还需要纬度才能找到特定的地点。

20 世纪 80 年代，Benedict Gross 发表了 Stark 方案的修改版本来继续这项数学研究。希尔伯特和 Stark 都曾考虑使用复数，而 Gross 使用了 p 进数（p-adic numbers）。

这两种方法都是标准数字的替代方案，标准数字使用不同的方法来确定两个数字是否接近。

Benedict Gross。

利用 p 进数可以重写数学中的许多概念，其中包括 L 函数。实际上在现代数论中，p - 进 L 函数与复 L 函数的关系非常密切。

即便如此，起初 Gross 将复数转换为 p 进数似乎却没有让 Stark 猜想的证明问题更进一步。在随后的几十年中，随着数字理论领域 p 进数数论的发展，Gross 的 p 进数猜想变得容易了一些。

Darmon 说：「借助 p 进数分析能够得到许多有趣的结果。」事实证明，相比于复数，使用 p 进数更容易解决数学中一些重要的问题，希尔伯特的第 12 个问题恰恰如此。

另辟蹊径：计算机程序找到数字系统的构建块

今年 3 月，杜克大学教授 Samit Dasgupta 和印度科学研究院教授 Mahesh Kakde 发表的这篇论文首次使用 p - 进数 L 函数回答了希尔伯特关于独立大型数字系统的问题。这些数字系统被称为「全实域（totally real field）」，是有理数的延伸，并包含给定多项式的一个根。

p - 进数 L 函数。两位教授通过 Deligne–Ribet 和 Cassou-Nogues 构造了一个 p 进数亚纯函数，并满足插值性。

2004 年，Dasgupta 在其博士论文中首次提出了所需要的最终公式——对 Gross 的猜想进行了改进。此后的十年里，利用 p 进数数字理论的发展，他又先后发表两篇论文并最终证明了 Gross 的猜想。但这还不足以解决希尔伯特的第 12 个问题，因为与 Stark 猜想一样，Gross 的猜想只提供了精确描述构建块所需的两个数字之一。

在过去的三年里，Dasgupta 和 Kakde 合作想要证明能够提供构建块所需的两个数字的 Gross 猜想，尽管看起来可能无法实现。

Kakde 曾说道：「我们两人都非常乐观。有时会遇到难以解决的障碍，但幸运的是，我们一直在取得进展。」

直到 2020 年，他们终于有了突破，证明了与全实域相关的精确构建块的确存在。换言之，他们知道自己想要实现的东西就在某个地方，并指引他们朝着正确的方向前进。他们得到了用以证明完整描述构建块的精确公式存在的关键方程式。

格罗斯猜想的部分证明步骤。

为了验证正确性，Dasgupta 的两名学生编写了一个计算机程序，由此生成了用于给定数字系统的构建块，并展示了工作原理。除了理论证明之外，这个计算机程序还帮助证明了 Dasgupta 和 Kakde 提出的公式的正确性，这是解决此类抽象问题的一个重要因素。

此外，这个计算机程序在 GitHub 上有一个项目，名为「Computation-of-Elliptic-Units」，主要计算「生成实二次域希尔伯特类域所需的椭圆形单位和多项式」。下表 1 为一部分计算结果：

项目地址：https://github.com/liuyj8526/Computation-of-Elliptic-Units

希尔伯特的第 12 个问题要求精确描述阿贝尔多项式的根的构造块，类似于单位根，Dasgupta 和 Kakde 的研究给出了一系列数字系统的构造块，尽管是以 p - 进 L 函数的形式，具有明显的现代性。

但还有最后一个问题：既然希尔伯特明确地写道，构建块应该由复数组成，那么这个解偏离希尔伯特最初的指令，这显示了数学的通用性。使用 p 进数分析为希尔伯特的问题提供了答案，但使用复分析的原始问题仍需未来的数学家探索。可能有很多方法来描述构建块，未来也许能够使用复数来描述它们，从而满足希尔伯特的最初要求。

正如 Gross 所说：「这是一场接力赛，当你精疲力尽时把接力棒传给下一个人。」

参考链接：https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-polynomial-building-blocks-hilbert-sought-20210525/

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