世纪难题相关问题被证明！？——黎曼猜想的前后今生

Posted 2022-11-13 turingbooks

黎曼假设就是数学界的“经度问题”。黎曼假设的解答能为人们探索数字海洋中的神秘水域提供线索。它也仅仅是我们探索自然之数字的一个开始。

网传数学家张益唐，已经攻克了朗道-西格尔零点猜想（Landau-Siegel Zeros Conjecture）。

而这则消息，据说是张益唐在参加北京大学校友Zoom线上会议时亲口所述。

如此爆料，可谓是在数学界轰动不已。

微博博主“物理芝士数学酱”认为，如果张益唐所证明的是朗道-西格尔零点存在，那么黎曼猜想就可以死了：

张益唐直接就是前后50年里最伟大的数学家，没有之一。

并且根据这条爆料消息来看，相关文章将会在11月初发到预印本网站，一百多页。

想要理解被称为数学研究的“珠峰”的世纪难题——黎曼猜想——确实是一件不容易的事，不妨先看看猜想背后的前世今生。

来源丨量子位（金磊 Alex）

一、黎曼猜想的提出

1900 年 8 月的某个早晨，空气潮湿闷热。在巴黎大学的一个拥挤的大厅里，第二届国际数学家大会正如火如荼地进行着。

来自哥廷根大学的大卫·希尔伯特教授正在台上发表演讲。他是当时公认的最伟大的数学家之一，其演讲内容大胆、新奇。他要讨论的不是那些已被证明的问题，而是一些尚未解决的问题。

这与人们长久以来所接受的传统观念背道而驰。当他阐释关于数学未来的观点时，听众甚至能听出他声音中的忐忑不安。“我们当中有谁不想揭开未来的面纱，探索当今科学的下一步发展历程，以及在未来几百年的发展前景和奥秘呢？”

为了迎接新世纪的到来，希尔伯特给观众列出了23道难题。他相信这些问题将为 20世纪的人们在数学探索之路上指明方向。

随后的几十年间，人们见证了其中的多个问题得以解决，而发现问题答案的那群人组成了一个著名的数学家团队，即“荣誉团体”。

这个团体中包括库尔特·哥德尔、亨利·庞加莱，以及其他许多用思想改变数学格局的人们。不过还有一个问题，也就是希尔伯特的第八问题，似乎将会安好地度过这个世纪而无人折桂，这就是黎曼假设。

在希尔伯特所设置的这些难题中，第八问题在他心中的地位非同一般。有一个德国神话和腓特烈一世有关，这位备受爱戴的德国国王死于第三次十字军东征时期。

有传闻称他依然活着，只是安睡于屈夫霍伊泽山脉，当德国人需要他的时候便会醒来。据说有人问过希尔伯特：“如果你能像腓特烈一世一样复活，那么 500 年后，你想要做什么？”他答道：“我会问‘有没有人证明了黎曼假设’。”

在 20 世纪结束之际，面对希尔伯特难题中的顶尖挑战，大多数数学家还是束手无策。然而，这可能不仅是本世纪无法解决的问题，很可能即使 500 年后希尔伯特从沉睡中醒来，这个问题也不会有答案。他那场探索未知领域的革命性演讲，在 20 世纪的第一次国际数学家大会上掀起了轩然大波。

然而，对于那些打算参加 20 世纪的最后一次会议的数学家来说，还有一个惊喜等待着他们。

二、黎曼猜想的首次破冰

1997 年 4 月 7 日，数学家们的计算机屏幕上闪过一则不同寻常的新闻。国际数学家大会的官方网站宣布，在明年将于柏林召开的会议上，大会将公布一个重磅消息：黎曼假设终于被证明了！

黎曼假设是整个数学领域的核心问题。阅读邮件的数学家们一想到即将揭开这一伟大数学奥秘的神秘面纱，内心就激动不已。

这一消息来自恩里科·邦别里教授。没有人比德高望重的他更适合发布这个消息了。邦别里教授是黎曼假设的守护者之一，就职于著名的普林斯顿高等研究院，爱因斯坦和哥德尔也曾在这里工作过。

他说话时轻声细语，但是数学家们总会仔细聆听他要讲的每一个字。

邦别里教授在意大利长大，家境优越，家族的葡萄酒庄培养了他高雅的生活品味。他被同事亲切地称为“数学贵族”。

年轻时，他通常开着漂亮的跑车前往欧洲的会议现场，在会场上留下潇洒的身影。对于自己曾经 6 次去意大利参加 24 小时拉力赛的传言，他也欣然接受。

他在数学上的成就有目共睹，在 20 世纪 70 年代当之无愧地收到了普林斯顿大学的邀请，此后一直在那里任教。他将自己对赛车的热情转移到了绘画上，尤其是肖像画。

数学能够吸引邦别里的原因在于，它是一门创造性的艺术。尤其是黎曼假设这种难题，激发了他挑战的欲望。

15 岁那年第一次读到黎曼假设后，他便沉溺其中不可自拔。身为经济学家的父亲有一个书库，收藏有大量的数学书。

当浏览数学书时，他就被数字的性质吸引住了。他发现，黎曼假设是数论中最深刻且最根本的问题。父亲承诺，如果能解决这个问题就为他买一辆法拉利，这令他热情大增。在他父亲看来，这是使他悬崖勒马的一种无奈之举。

正如邦别里在邮件中所说的，他不再有机会赢得法拉利了。他在邮件开头写道：“上周三，阿兰·孔涅在普林斯顿高等研究院的讲座中提到，他对黎曼假设的研究取得了突破。”

几年前，阿兰·孔涅将注意力转向了证明黎曼假设上，整个数学界为此欢欣鼓舞。孔涅是该学科的变革者之一。若邦别里是数学界的路易十六，那么孔涅就是罗伯斯庇尔。

他魅力非凡，那火一般的风格与稳重呆板的数学家形象相去甚远。他能说服人们相信他的世界观，其演说也引人入胜。他的追随者都对他充满了崇拜之情。他们都乐于加入孔涅的数学阵营，来捍卫他们心中的英雄，并抵御来自那些仍坚守传统立场的顽固派的反攻。

孔涅供职于巴黎高等科学研究所，相当于法国的普林斯顿高等研究院。他自 1979 年到那里之后，就创立了一种用于解析几何的新语言。

他不怕该学科会变得极端抽象化。即使是那些平日里同高度概念化方法打交道的数学家，他们中的大多数也都拒绝接受孔涅提出的数学抽象化这一变革。

然而，正如他向那些对这一理论持怀疑态度的人们所展示的那样，他所创立的新几何语言却为量子物理在现实世界寻得蛛丝马迹打开了大门。如果这引起了数学界的恐慌，那就顺其自然吧。

孔涅大胆断言，他的新几何语言不但能揭开量子物理世界的面纱，还能解释黎曼假设——这个关于数字的最大奥秘。这令人们感到意外和震惊。

他无惧打破常规，挣脱枷锁，敢于冒险，直捣数论核心，直面数学上最晦涩难懂的问题。自 20 世纪 90 年代中期孔涅进入该领域后，坊间曾一度流传，如果有人能攻克这个众所周知的难题，那一定非他莫属。

但是发现这一复杂拼图最后一块的那个人，似乎并不是孔涅。邦别里接着讲到，观众中一位年轻的物理学家“灵光一现”，发现利用他提出的“超对称费米 - 玻色系统”可以破解黎曼假设之谜。

数学家对这个时髦的混合名词知之甚少，不过邦别里解释说，这描述了“在对应接近绝对零度时的物理世界，带有相反自旋的任意子和糊涂子 A 组合而成的系统”。

这听起来依旧晦涩难懂，但是这毕竟是用于解决数学史上最难的问题的答案，就算再难也在人们的意料之中。

据邦别里所说，经过六天夜以继日的工作，并借助一种叫作 MISPAR 的新计算机语言，年轻的物理学家最终攻破了数学界的顶尖难题。

邦别里在邮件结尾处写道：“哇！请给他最高的赞誉吧！”黎曼假设最终由一位年轻的物理学家来证明，这完全出乎人们的意料。但是这一天的到来并没有给人们带来太大惊喜。

过去的几十年里，人们已经发现，许多数学问题其实与物理问题有着千丝万缕的联系。人们已经隐约觉得，作为数论的核心问题，黎曼假设也许或多或少地涉及粒子物理的问题，可能是以一种人们意想不到的方式。

数学家们于是纷纷改变自己的旅行计划，飞往普林斯顿来见证这一伟大时刻。

1993 年 6 月，英国数学家安德鲁·怀尔斯在剑桥大学演讲时，宣布证明了费马大定理。这一消息公布后，全场沸腾。

那令人激动万分的一幕，当时在场的人们仍记忆犹新。怀尔斯证明了费马是对的：方程 xn +yn =zn 在 n >2 时无解。

当怀尔斯结束演讲放下粉笔的那一刻，在场的人们沸腾了。他们兴奋地开启香槟酒，庆祝这一时刻。记者们也纷纷拿起照相机，开始拍个不停。

然而，数学家们知道，相比于知道费马方程无解，证明黎曼假设才真正关乎数学界的未来。

正如邦别里在 15 岁那年发现的，证明黎曼假设旨在理解数学中最基本的对象——素数。

三、悠扬的素数：二百年数学绝唱黎曼假设

素数正是算术中的原子。素数就是不可分割的数字，无法写成两个较小数字的乘积。数字 13 和 17 都是素数，不过 15 就不是，因为它能够写成 3和 5 的乘积。

素数如同散落在整个广袤无垠宇宙中的珠宝，是能让数学家不惜花上几个世纪来探索的数字。

对数学家而言，2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, …，这些永恒的数字似乎披上了神秘的外衣，它们独立于我们的物理世界而存在。它们是大自然赐予数学家的礼物。

素数对数学的重要性在于其构造所有其他数字的魔力。每个合数（非素数）都可以由几个素数相乘得出。

这就如同在物理世界中，每个分子都可以由化学元素周期表中的原子构成，素数列表就是数学家心中的元素周期表。素数 2、3、5 是数学家在实验室里的氢、氦、锂。

掌握这些素数，数学家就能在错综复杂的数学探索之路上披荆斩棘、上下求索，开拓出一片新天地。

尽管素数简单而基础，但还是成为了让数学家孜孜不倦研究的一个最为神秘的课题。素数给这个旨在发现规律和规则的学科带来了空前的挑战。浏览一组素数，你会发现，根本不可能预测下一个素数何时出现。

素数数列看起来无序而随机，对预测下一个素数也没有提供什么线索。素数数列是数学的心跳，但它是被强大的咖啡因鸡尾酒所激发起来的脉搏跳动（见下图）。

2 3 5 7 11 13 17 19 23 2931 37 4143 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

小于 100 的素数：数学的无规律心电图

你能否找到一个创建数列的公式，它有个神奇的法则，能告诉你第100 个素数是什么？从古至今，这个问题便一直困扰着数学家们，成为其挥之不去的噩梦。

尽管两千多年过去了，素数似乎还是对那些妄图将它们直接归入公式的人们嗤之以鼻。

一代代数学家们聆听着素数的鼓点，一开始他们听到两下敲击，接着是三下、五下、七下。随着鼓点继续敲击，节拍越来越没有内在逻辑，使人不得不相信这就是一片随机的白噪声。

追求规律性一直是数学这门学科的重中之重，而数学家在素数这里只能听到一片混乱嘈杂之声。

自然选择素数的方式似乎毫无规律可循。数学家们则接受不了这一事实。如果缺乏数学规律，缺乏简洁之美，那就不值得研究了。

白噪声从来就无法让人心旷神怡。法国数学家亨利·庞加莱在书中这样写道：

“科学家并不是因为自然有用才去研究它的，而是因为他们乐于研究这个。驱使他们研究的乐趣，就是自然之美。如果自然缺少了美感，那就不值得研究；如果自然不值得研究，那么人间或许也不值得来一趟。”

人们或许希望，素数的脉搏在起初的混乱之后可以逐渐平稳下来。

然而事与愿违，随着计数的增加，事情似乎变得越来越糟糕。下面分别来看看小于和大于 10 000 000 的 100 个数字里的素数。

首先是小于10 000 000 的：

9 999 901, 9 999 907, 9 999 929, 9 999 931, 9 999 937, 9 999 943,9 999 971, 9 999 973, 9 999 991

大于 10 000 000 的 100 个数字里的素数却屈指可数：

10 000 019, 10 000 079

很难想象什么样的公式能生出这种规律的数字来。

实际上，相比于有序的数列规律，素数的队列更像是一种对数字的无序继承。如同知道前 99 次抛硬币的结果，还是无法让你得到第 100 次的结果一样，素数也是不可预测的。

四、素数还是素数

在数学界，素数被披上了一层最神秘莫测的外衣。

其一，一个数字只有两种情况，要么是素数，要么不是素数。抛掷硬币也无法决定一个数字能否被更小的数字整除。

其二，没有人否认素数序列看起来就像一个随机选择的数列。

物理学家已经认同了这一观点：量子的毁灭决定宇宙的命运，每次投掷随机选择科学家所能找到的物质。

数学上这么重要的数字，难道是由大自然掷骰子决定的？

但如果接受这个事实，那就会让数学界陷入尴尬的境地。随机和无序简直是对数学家的诅咒。

素数尽管具有随机性，但相比其他任何数学文化遗产，它们更具持久性和普遍性。无论我们有没有找到更高效的方法来辨识它们，素数就在那里。

来自剑桥大学的数学家 G.H. 哈代在其著作《一个数学家的辩白》中写道：“317 是素数，不是因为我们认为如此，或者我们的感知方式是如此，而是因为它本就如此，因为数学世界就是如此构建的。”

一些哲学家或许会反驳柏拉图的世界观，即相信有一个超越人类的绝对而永恒的世界存在。

但是在我看来，那正是使他们成为哲学家而非数学家的原因之所在。

邦别里在邮件中特别提到的数学家阿兰·孔涅和神经生物学家让 - 皮埃尔·尚热，在 Conversations on Mind, Matter and Mathematics 一书中有一段火药味十足的精彩对话。

数学家认为数学存在于意识之外，而神经学家果断地驳斥了这种观点：“我们为什么在空中看不到用金字书写的‘π =3.141 6’，或者在水晶球倒影处出现的‘6.02×1023’呢？”

孔涅则坚称：“独立于人类意识之外，存在着一个原生而永恒的数学世界。”在那个世界的中心，则存在着一组不变的素数。

这给尚热一种深深的挫败感。孔涅还断言：“数学无疑是唯一的通用语言。”人们可以幻想在另一个世界有不同的化学物质和生物。但是，不论在哪个星系，素数还是素数，始终如一。

在卡尔·萨根的经典小说《接触》中，外星人通过素数和地球上的生命沟通。该书主角埃莉·阿洛维在搜寻地外文明研究所任职，负责监听宇宙中的细微声音。

一天夜里，当射电望远镜对准织女星的波段时，他们忽然在背景噪声中捕获了一段奇怪的脉冲信号。埃莉马上从射频信号中识别出了这个节奏。2 次脉冲之后是一个暂停，之后是 3 次、5 次、7 次、11 次，一直到 907 次，全部都是素数。之后又重新开始。

这种宇宙之鼓演奏的乐章，是地球不能听而不闻的。埃莉坚信，只有智慧生命才能创造出这种节奏。“无法想象一些辐射的等离子体，会发送像这样有规律的数字信号。使用素数正是为了引起我们的注意。”她这样说道。

外星文明发来的是过去十年间彩票中奖的数字吗？

埃莉无法从背景噪声中分辨出来。即使这一素数列表看起来像一串随机的彩票中奖号码，但因其普遍性和恒常性，外星人在广播中选取了这些数字。也正是这一结构特征，让埃莉意识到，这很可能是智慧生物发出的信号。

使用素数交流并非科幻小说的专利。奥立弗·萨克斯在其著作《错把妻子当帽子》中记录了一个真实的故事。

26 岁的双胞胎兄弟约翰和迈克尔，通过交换 6 位素数进行深度沟通。第一次发现他们在房间的角落里秘密交换数字时，萨克斯这样写道：“乍一看，他们就像两个品酒专家，品尝、赞美各自珍藏的美酒。”

一开始，萨克斯不懂这对双胞胎要干什么。但是破解了他们使用的密码后，他就记下一些 8 位素数，以便能出其不意地加入兄弟俩的下次谈话。当兄弟俩发现还有其他素数后，先是大吃一惊，接着陷入深思，尔后便欣喜若狂。

当萨克斯还在借助素数表查找素数时，这对双胞胎便开始生成素数了，但究竟是怎么做到的，那就确实是个不可思议的未解之谜了。是不是这些自闭症天才拥有一些世代数学家缺失的奇妙公式呢？

这对双胞胎的故事是邦别里的最爱。

听到这个故事时，我不得不惊讶于且敬畏于他们快速运转的大脑。

但令我好奇的是，我的那些非数学家的朋友们，是否也会做出同样的反应 ? 他们是否知道，双胞胎兄弟拥有的这种独特天赋，是多么令人匪夷所思啊？

他们是否知道，数学家们殚精竭虑花了数个世纪，就是为了找到这样一种生成和检验素数的方法，而这种能力却是约翰和迈克尔与生俱来的？

在所有人都困惑于这对双胞胎兄弟是如何做到这些时，他们的医生在他们 37 岁时将二人分开，理由是这对双胞胎沟通所使用的神秘密码会阻碍其发展。

如果这几位医生听到过大学数学系普通教室里的神秘对话，可能也会要求他们停止讨论吧。双胞胎兄弟很可能借助了基于费马小定理的方法来检验一个数是否为素数。

这种测试方法类似于他们的另一个经常在电视节目中表演的技能：迅速判断出 1922 年 4 月 13 日是星期四。这两种方法都要执行时钟计算或者模运算这样的操作。

即使他们没有一套关于素数的神奇公式，其能力也着实超乎常人。双胞胎被医生分开前已经检验到了 28 位素数，远远超出了萨克斯的素数表的上限值。

五、数学接力赛：实现黎曼的革命

数个世纪以来，正如萨根书中的主人公监听宇宙中的素数鼓点，以及萨克斯偷听双胞胎交流素数一样，数学家们竭力从素数的噪声中寻找规律。

然而，他们的工作和目标总是南辕北辙，一切似乎都无济于事。

后来，素数研究终于在 19 世纪中叶取得了一项重大突破。伯恩哈德·黎曼开始用一种全新的视角看待这个问题。

从新的角度出发，他逐渐掌握了素数出现无序时所对应的某种规律。隐藏在素数表面的噪声之下的却是一种和谐之音，它不易察觉，却又出人意料。

尽管向前迈进了一大步，新乐章之神秘却始终超出我们听力之所及。

黎曼，这个数学界的瓦格纳，是又一位勇士。他对自己所发现的这一神秘乐章进行了大胆的猜想。

这一猜想也就是后来为人所熟知的“黎曼假设”。无论谁来证明黎曼关于这一神秘乐章本质所做的假设，都需要解释为何素数具有显而易见的随机性。

黎曼之所以能做出这一假设，得益于他凝视素数所用的数学观察镜。踏入镜面世界的同时，爱丽丝进入了一个上下颠倒的世界。

与之相比，在黎曼观察镜之外的奇异数学世界，如同所有数学家所期望的那样，无序的素数似乎变得有规律可循。

他猜测，无论人们凝视到的观察镜之外的无垠世界有多远，都存在这一规律。他对镜子另一边所做的内在和谐的预测，就能解释为什么素数表面看起来是如此无序。这一变化来自黎曼的镜像世界，在那里混沌变为有序，这是个最令数学家们叹为观止的世界。

黎曼留给数学界的难题，就是证明他凭直觉所感的规律客观存在。

正如邦别里在 1997 年 4 月 7 日的邮件里所写的那样，这预示着一个新时代的到来。黎曼察觉到的东西并非海市蜃楼。这位数学界的贵族，给数学家带来了期待已久的万能钥匙，有望解开素数为何无序之谜。

借助这一伟大难题的解决，数学家迫切希望能揭开他们所知的所有其他数学问题的面纱。

黎曼假设的证明将事关许多其他数学问题的解决。对于数学家来说，素数是如此重要，以至于任何在理解其本质方面所取得的突破，都会产生举足轻重的影响。

黎曼假设似乎是一个难以回避的问题。当数学家沿着自己的数学方向前进时，似乎所有的路径都不可避免地指向了同一处恢弘的景观，即黎曼假设。

许多人将解决黎曼假设比喻成攀登珠穆朗玛峰。无人攀登的时间越长，我们就越想征服它。最终攀登黎曼假设之峰的数学家，将会比埃德蒙·希拉里被人铭记的时间还要久。

人们对于征服珠峰的赞美，不在于峰顶的景色是如何令人叹为观止，而在于克服登顶过程中所遇到的种种挑战。

从这个角度来看，证明黎曼假设和征服世界上最高的山峰意义有别。黎曼之峰是我们都想登顶的，因为我们都知道登顶之后展现在我们面前的风景。

许多数学家都曾一厢情愿地认为黎曼假设成立，并据此提出了成千上万个定理。而证明黎曼假设的人将有望成功填补这些定理所存在的缺陷。

如此之多的结果依赖于黎曼难题，这也是数学家们称之为“假设”而非“猜想”的原因之所在。“假设”这个词有更深刻的内涵，是数学家用于构建理论的必要设想。

相反，“猜想”仅仅代表着对数学家所认为的世界运转规律的一种预测。许多人不得不接受自己无法攻克黎曼谜题这一事实，并只是将他的预测作为一种可用性假设。

如果有人可以将这一假设变为定理，那么所有那些还未被证明的结果都将得以验证。为黎曼假设所吸引的数学家们，希望有一天能够通过证明黎曼假设为真而声名远播。

一些人并不仅仅将其作为一种可用性假设，他们看得更远。邦别里坚信，素数会如黎曼假设所预测的那样有规律可循。这成为了人们追求数学真理的精神支柱。长久以来，人们都是凭直觉发现事物的运转规律。

然而，如果黎曼假设被证伪，那么将彻底摧毁我们这种信念。我们对黎曼假设的正确性如此深信不疑，以至于要想扭转这一观点的话，需要彻底改变我们的数学世界观。而那些基于黎曼假设为真所生成的定理都将灰飞烟灭。

最重要的是，证明黎曼假设意味着数学家能够通过有力的依据，快速确认 100 位素数，或者其他他们想要选择的任意位素数。

你可能会理直气壮地反问：“这与我何干？”除非你是个数学家，否则黎曼假设证明与否，似乎对你的生活不会产生太大影响。

发现上百位的素数，这听起来就像数针尖上跳舞的天使有多少个一样无关紧要。尽管多数人认为数学的意义在于设计飞机或者发展电子技术，但是很少有人能够想到，探索素数的深奥世界会给他们的生活带来多大影响。

的确，即使到了 20 世纪 40 年代，哈代也持相同观点：“世间存在一种叫作数论的不食人间烟火的科学理论，高斯和少数数学家或许会为此兴奋不已吧。”

六、计算机时代：从人脑到电脑

但是，一个新的转折点出现了。素数终于登上了残酷的商业世界的舞台中心。素数不再仅仅是数学界的明星。

在 20 世纪 70 年代，三位科学家——罗纳德· L. 李维斯特、阿迪·萨莫尔和伦纳德·阿德曼——将素数的探索从象牙塔中单纯的科研游戏，推广到了重要的商业应用领域。

通过研究皮埃尔·德·费马在 17 世纪提出的定理，这三位科学家发现一种方法，让人们在全世界的电商网站上购物时，可以利用素数来保护信用卡号码的安全。

这个概念首次问世于 20 世纪 70 年代，当时谁都没想到电子商务会变得像今天一样大受欢迎。

如今若不借助素数的力量，网络交易就无法进行。每当你在网上提交一份订单时，计算机就利用一些上百位的素数来提供安全保障。这种技术称作 RSA，得名于这三位发明者名字的首字母。

到目前为止，已经有超过百万个素数被用于保护电子商务交易。每一笔网络交易都依赖于一些上百位的素数来保障交易安全进行。

互联网的广泛应用，最终将导致我们每个人都会有一个独一无二的素数身份。

忽然间，证明黎曼假设有了商业价值，因其可能会有助于了解素数在数字宇宙中的分布情况。

RSA 的神奇之处在于，尽管构建密码依赖于费马 300 多年前关于素数的发现，但要想破译密码却有赖于一个我们尚未解决的问题。RSA 的安全性建立在我们对素数的基本问题的无能为力之上。

数学家对素数只知其一，于是构建了那些网络密码；他们却不知其二，以至于不能破解那些密码。对这个方程，我们只知其一，不知其二。

我们对素数了解得越多，那些网络密码就越不安全。这些密码就是开启网络世界电子锁的钥匙。这就是 AT&T 和惠普之类的企业会不惜耗巨资用于解密素数和黎曼假设的原因。

一旦有所发现，对破解这些素数密码将大有裨益。所有出现在互联网上的公司也都希望第一个知道自己的密码是什么时候变得不安全的。这也就解释了数论和商业为何会同床异梦。

商业圈和安全机构正密切关注着数学家的一举一动。

因此，对邦别里的消息感兴趣的不止是数学家。如果黎曼假设被证明，那么会导致在线交易的崩溃吗？美国国家安全局也派人到普林斯顿大学寻找答案。但是当数学家和安全局的人奔赴新泽西时，一些人在邦别里的邮件中嗅到些许可疑的气息。

基本粒子被赋予了一些夸张的名字，如胶子、级联超子、粲介子、夸克，最后一个名字来自詹姆斯·乔伊斯的小说《芬尼根的守灵夜》。但“糊涂子”呢？显然不是！

邦别里在探索黎曼假设的奥秘之路上有着不可替代的地位，但是那些了解他的人也懂得这是种黑色幽默。

七、持续两千年的探索

费马大定理在一个愚人节玩笑中落幕，此前安德鲁·怀尔斯在剑桥大学首次证明该定理时出现了漏洞。邦别里的邮件再一次在数学界掀起轩然大波。

由于想要见证费马大定理被证明时的伟大时刻，数学家们接过了邦别里抛来的橄榄枝。他们争相转发邮件。

随着邮件的快速传播，他们忘记了还有愚人节这档子事儿了。加上这封邮件在许多不知愚人节为何物的国家传阅，使得这个恶作剧比邦别里预想得还要成功。

他最终不得不出面承认这封邮件只是个愚人节玩笑。随着 21 世纪的到来，对数学界这种最基本的数字，我们仍然所知甚少。只有素数笑到了最后。

为什么数学家们会这么轻信邦别里呢？他们并不会轻易放弃自己的成果。之前，数学家需要通过严格的测试，方可宣布其成果得到证明，测试之充分远超其他学科。

当怀尔斯发现自己第一次完成的费马大定理证明存在一个漏洞时，就意识到，完成 99% 的拼图是不够的，拼出最后一块的人才是赢家，才会为人所铭记。而最后一块，通常隐藏数年才会为人所识。

对素数的探秘已持续了两千多年。对灵丹妙药的渴望，使数学家毫无防备地跳入了邦别里的圈套。多年来，许多人一提起这个难题，就望而却步。但随着 20 世纪渐近尾声，越来越多的数学家摩拳擦掌，谈论着如何攻克这个令人瞩目的问题。

费马大定理的证明已经表明，重大难题也可以被攻克。这给满怀期待的人们吃下了一颗定心丸。

怀尔斯对费马大定理的证明，使数学家受到人们的空前关注。这给了他们一种身为数学家的荣誉感，而这种荣誉感无疑使他们更愿意相信邦别里。安德鲁·怀尔斯还被 Gap 公司邀请担任休闲裤的代言人。

这听上去真不错，数学家也可以有魅力四射的时刻。数学家们绝大多数时间都置身于一个世界——一个能给他们带来兴奋之情与满足之感的世界。

然而，他们却鲜有机会将这种喜悦分享给这一世界之外的其他人。这是一个机会，一个向他人展示自己在孤独而漫长的征程中，上下求索所取得的成果的好机会。

对黎曼假设的证明在 20 世纪进入数学界的高潮期。希尔伯特直接向全世界的数学家发起挑战，希望破解这一难题，由此揭开了这个世纪的序幕。在希尔伯特所列出的 23 道难题中，只有黎曼假设仍然是新世纪的未解之谜。

2000 年 5 月 24 日，为了纪念希尔伯特 23 问题提出 100 周年，数学家和出版界人士在法兰西公学院汇聚一堂，聆听七个新难题的宣布，以挑战新千年的数学界。这些难题出自世界上最优秀的一小群数学家，包括安德鲁·怀尔斯和阿兰·孔涅。

七大问题中除了希尔伯特列出的黎曼假设之外都是新问题。这些难题都附带诱人的丰厚奖励，以迎合 21 世纪衍生的价值观。黎曼假设和其他六个难题的奖金，定为每道题 100 万美元。如果精神赞誉不够的话，物质奖励也足以刺激到邦别里虚构的年轻物理学家们。

千禧年难题的主意是由波士顿的一个名叫兰顿· T. 克雷的商人提出的，他以在行情看涨的股票市场交易公共基金来谋利。从哈佛大学数学专业辍学的他，对这一学科的热情不减。他还想将这种热情分享给更多人。

他意识到，金钱对数学家来说可能并没有什么激励作用：“正是对真理的追求，对数学之美，对数学之力量以及对数学之优雅的回应，激励着数学家们。”

但是克雷也不简单，作为一个商人，他知道如何用百万美元激励另一个安德鲁·怀尔斯加入到解答这旷世难题的竞争中来。

的确，克雷数学研究所的网站在发布千禧年难题后的第二天，因访问量过大而崩溃了。

这七个千禧年难题，本质上和 20 世纪的 23 个难题大不相同。希尔伯特为 20 世纪的数学家安排好了新的日程表。许多难题都是刚刚起步，甚至意味着会颠覆许多人对该学科的认识。

希尔伯特所列的 23 个难题并没有像费马大定理一样，引导数学家关注单一的方向，而是激励他们从更概念化的层面来思索问题。他也没有捡拾数学胜景中的单块石头，而是为数学家们提供了俯瞰整个学科的视角，并激励他们从宏观角度考虑数学。

这种新的方式很大程度上归功于黎曼，早在 50 年前他就开始思索数学变革，将其从一门由公式和方程构成的学科，变成一门遍布概念和抽象理论的学科。

新千年的七个难题，其选择标准更加保守。它们是数学难题艺术展中的透纳作品。希尔伯特的问题则是现代派和前卫派合作的产物。

新问题较为保守的部分原因在于，希望解决者给出的答案能够得以充分证明，从而获得百万美元奖金。千禧年难题几十年来都为数学家们所熟知，黎曼假设更是历时百年。这些问题都很经典。克雷的 700 万美元并非首次为解决数学问题而发放的奖金。

1997年，怀尔斯就因证明了费马大定理而摘取了保罗·沃尔夫斯凯尔在 1908年设立的奖项，获得 75 000 马克。怀尔斯早在 10 岁时就对沃尔夫斯凯尔奖的故事有了深刻的印象。

克雷相信，如果他也对黎曼假设如法炮制的话，那么这 100 万美元就会有所回报。近期，英国的费伯出版社和美国的布鲁姆斯伯里出版社为证明哥德巴赫猜想的人提供百万美元的奖金，借此宣传新书——阿波斯托洛斯·佐克西亚季斯的小说《遇见哥德巴赫猜想》。

为了得到这笔钱，你得弄清楚，为什么每个合数都可以写成两个素数的乘积。然而，出版社并不会给你过多时间来破解此难题。

只有在 2002 年 3 月 15 日前提供的答案才算数。这两家出版社还很莫名其妙地规定，仅限美英两国居民参加此次活动。克雷认为，数学家们很少因为自己的工作而受到奖赏和认可。

例如，令人向往和追求的诺贝尔奖没有设立数学奖，取而代之的是菲尔兹奖，被视作数学界的至高荣誉。

诺贝尔奖倾向于授予那些在各自的领域做出长期贡献的科学家们，而菲尔兹奖的评选仅限于 40 岁以下的数学家。这并非是受固有观念——数学家容易江郎才尽——的影响。

约翰·菲尔兹，菲尔兹奖的创立者和奖金提供者，希望借此奖项激励那些最富潜力的数学家去取得更伟大的成就。该奖项每四年在国际数学家大会上颁发一次。第一届菲尔兹奖是于 1936 年在奥斯陆颁发的。

年龄是一道严格的门槛。尽管安德鲁·怀尔斯在证明费马大定理上取得了突出成就，但是菲尔兹奖委员会还是无法在 1998 年于柏林举办的国际数学家大会上授予他这一奖项。这是自他最后的证明被接受以来首次有机会被认可，可惜他生于 1953 年。

他们铸造了一个特别的奖牌，以纪念怀尔斯为此所做的贡献，但是这和菲尔兹奖获得者这一卓越称号无法相提并论。

获奖者囊括了我们这场戏的许多重要角色：恩里科·邦别里、阿兰·孔涅、阿特勒·赛尔伯格、保罗·科恩、亚历山大·格罗腾迪克、艾伦·贝克、皮埃尔·德利涅。这些人几乎摘取了五分之一的奖项。

但数学家并非是为了金钱而追逐这些奖项的。与诺贝尔奖提供的巨额奖金相比，菲尔兹奖提供的奖金不过 15 000 加元。

因此，克雷颁发的百万美元奖金足以和诺贝尔奖相匹敌。相比于菲尔兹奖，以及费伯出版社与布鲁姆斯伯里出版社颁发的哥德巴赫猜想百万美元大奖，赢得这笔奖金不受年龄和国籍限制，也没有解题时间限制，唯一变化的只有汇率。

然而，促使数学家们破解千禧年难题的最大动力不是巨额奖金，而是数学带给人的那种不朽而令人神往的力量。攻克一个千禧年难题，你就能获得 100 万美元。但是，相比于把你的名字镌刻进探索智慧与文明的历史长河中，这根本不值一提。

黎曼假设、费马大定理、哥德巴赫猜想、希尔伯特空间、拉马努金 τ 方程、欧几里得算法、哈代 - 利特尔伍德圆法，傅里叶级数、哥德尔数、西格尔零点、赛尔伯格轨迹公式、埃拉托斯特尼筛法、梅森素数、欧拉积、高斯积分等发现，使那些在探索素数之路上做出了不朽贡献的数学家名垂千古。

即使我们有朝一日或许会忘记埃斯库罗斯 A、歌德和莎士比亚这样的名字，那些名字依旧永垂不朽。

正如哈代所言：“语言会消亡，而数学思想却不朽。‘不朽’或许听起来虚无缥缈，但或许数学家最有发言权来解释该词的意义。”

那些在探索素数这一伟大征程中做出长久而不懈努力的数学家们，不仅仅是数学里程碑上所铭记的那些名字。素数的故事是一个个鲜活的人物的真实经历。

法国大革命的历史人物和拿破仑的朋友们，纷纷向现代的魔术师和网络公司让步。来自印度的职员，兢兢业业执行任务的法国间谍，还有逃离第二次世界大战（简称二战）战火的匈牙利裔犹太人，这三个人的命运都因探索素数的奥秘而交织在一起。

所有这些人致力于提出独特观点的目的，就是希望自己的名字能留存在数学的历史长河中。

素数让世界各地的数学家们走到了一起，中国、法国、希腊、美国、挪威、澳大利亚、俄罗斯、印度和德国等国都诞生过杰出的数学家。他们都会在每四年举办一次的国际数学家大会上讲述自己的探索故事。

留名青史并非激励数学家的唯一动力。就像希尔伯特敢于探索未知一样，黎曼假设的证明也将开启一段新旅程。

当怀尔斯在宣布克雷奖的媒体发布会上做演讲时，他强调问题的解决并不等于为此画上了句号：

有一个崭新的数学世界等待着我们去发现。想象一下 1600 年的欧洲人，他们知道大西洋的对岸是一片新世界。

对于那些曾在建设美国的过程中做出贡献的人们，应该给他们颁发什么奖项呢？不是飞机发明奖，不是计算机发明奖，不是芝加哥城市建设奖，也不是小麦收割机发明奖。

虽然上述这些事物已成为美国人生活的一部分，但这些都是1600 年的欧洲人所无法想象的。他们应该为解决经度问题的人颁发一个奖项。

黎曼假设就是数学界的“经度问题”。黎曼假设的解答能为人们探索数字海洋中的神秘水域提供线索。它也仅仅是我们探索自然之数字的一个开始。

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作者：[英] 马库斯•杜•索托伊

（Marcus du Sautoy）

译者：柏华元

牛津大学数学教授，英国皇家学会研究员马库斯•杜•索托伊科普力作 

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