有一个数学家研究几何研究了一生，后来疯了，这位数学家是谁

Posted 2023-04-11

参考技术A 康托（Georg Cantor，1845-1918），德国数学家，19世纪数学伟大成就之一——集合论的创立人。 凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，极大地推动了分析与逻辑的发展。‘
基本信息
1845年3月3日生于俄国彼得堡一个犹太商人的家庭。1856年全家迁居德国法兰克福。康托先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学，主要学习哲学、数学和物理。在柏林大学，他受到著名分析学家魏尔斯特拉斯的影响，对纯粹数学产生了兴趣。1867年，他以求不定方程a*x^2+b*y^2+c*z^2= 0的整数解（其中，a、b、c为任意整数）的博士论文获哲学博士学位。1869年起来到哈勒大学，历任教师、副教授、教授。康托自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。
主要成果
1874年康托的有关无穷的概念，震撼了知识界。康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展。他研究数论和用三角级数唯一地表示函数等问题，发现了惊人的结果：证明有理数是可列的，而全体实数是不可列的。
康托29岁（1874年）时在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇论文，提出了“无穷集合”这个数学概念，引起了数学界的极大关注，他引进了无穷点集的一些概念，如：基数，势，序数等，试图把不同的无穷离散点集和无穷连续点集按某种方式加以区分，他还构造了实变函数论中著名的“康托集”，“康托序列”。1874年证明了代数数集和有理数集的可数性和实数集的不可数性，建立了实数连续性公理，被称为“康托公理”.1877年证明了一条线段上的点能够和正方形上的点建立一一对应，从而证明了直线上，平面上，三维空间乃至高维空间的所有点的集合，都有相同的势.1879-1884年他着重研究无穷数与超越数理论.最重要的著作是《超越数理论基础》（1895-1897）.
学术界的争论
康托的工作给数学发展带来了一场革命。由于他的理论超越直观，所以曾受到当时一些大数学家的反对，就连被誉为“博大精深，富于创举”的数学家庞加莱也把集合论比作有趣的“病理情形”，甚至他的老师克罗内克还击康托是“神经质”，“走进了超越数的地狱”.对于这些非难和指责，康托仍充满信心，他说：“我的理论犹如磐石一般坚固，任何反对它的人都将搬起石头砸自己的脚.”他还指出：“数学的本质在于它的自由性，不必受传统观念束缚。”这种争辩持续了十年之久。康托由于经常处于精神压抑之中，致使他1884年患了精神分裂症，最后死于精神病院。
世界对集合论的认可
然而，历史终究公平地评价了他的创造，集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支，成为了分析理论，测度论，拓扑学及数理科学中必不可少的工具。20世纪初世界上最伟大的数学家希尔伯特在德国传播了康托的思想，把他称为“数学家的乐园”和“数学思想最惊人的产物”。英国哲学家罗素把康托的工作誉为“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的康托向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。
康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托的集合论是一种“疾病”，康托的概念是“雾中之雾”，甚至说康托是“疯子”。
来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的。
可是，真理是不可战胜的，也有许多卓越的数学家深为康托首创的集合论所起的作用而打动，1897年在苏黎世举行的第一次国际数学家大会上，赫尔维茨与阿达玛两位数学家站出来指出了康托集合论中超限数理论在分析学中的重要应用。希尔伯特也是最支持康托理论的数学家之一，他大声疾呼：“没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中赶走。”并撰写文章赞誉康托的超限算术为“数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现。”著名哲学家罗素把康托的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”
用现代的眼光看待集合论
现代数学的发展告诉我们，康托的集合论是自古希腊时代以来两千多年里，人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算。并从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑学和哲学也带来了深远的影响。

真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托在一家精神病院去世。

摘自百度百科

C语言实现“勾股树”——毕达哥拉斯树

分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。虽然分形是一个数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。

计算机协助了人们推开分形几何的大门。法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，开创了新的数学分支——分形几何学。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。

毕达哥拉斯树（Pythagoras tree）是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”。

这个程序，展示了毕达哥拉斯树的生成。执行效果如下：

 我的求解思路是：

1. 确定直线 p1-p2，并在 p1-p2 的左侧求出 p11-p22，使 p1-p2-p22-p11 构成正方形。
2. 求出点 p，使  p-p11-p22 构成含 60 度角的直角三角形。
3. 分别将直线 p-p11 和 p-p22 看作 p1-p2，递归。递归的条件是正方形的边长大于 3。

完成的 C 语言源代码如下：

///
// 程序名称：毕达哥拉斯树（Pythagoras tree）
// 编译环境：Mictosoft Visual Studio 2010, EasyX_20200315(beta)
//
#include <graphics.h>
#include <conio.h>
#include <math.h>

const double PI = 3.1415926536;

// 定义一个结构体 Point，存储点的坐标
struct Point

	double x;
	double y;
;

// 直线的旋转（p1 是定点）
Point Rotate(Point p1, Point p2, double angle)

	Point r;
	r.x = p1.x + (p2.x - p1.x) * cos(angle) + (p2.y - p1.y) * sin(angle);
	r.y = p1.y + (p2.y - p1.y) * cos(angle) - (p2.x - p1.x) * sin(angle);
	return r;


// 直线的缩放（p1 是定点）
Point Zoom(Point p1, Point p2, double ratio)

	Point r;
	r.x = p1.x + (p2.x - p1.x) * ratio;
	r.y = p1.y + (p2.y - p1.y) * ratio;
	return r;


// 画出正方形
void Draw(Point p1, Point p2)

	Point p11 = Rotate(p1, p2, 90 * PI / 180);
	Point p22 = Rotate(p2, p1, 270 * PI / 180);

	POINT pts[] =   int(p1.x + 0.5),  int(p1.y + 0.5) ,					// +0.5 是为了四舍五入
					 int(p2.x + 0.5),  int(p2.y + 0.5) ,
					 int(p22.x + 0.5), int(p22.y + 0.5) , 
					 int(p11.x + 0.5), int(p11.y + 0.5)  ;

	static int color_H = 270;
	setfillcolor(HSVtoRGB(float(color_H), 1, 1));							// 设置正方形的填充颜色
	setlinecolor(HSVtoRGB(float((color_H + 80) % 360), 0.5, 0.5));			// 设置正方形的边框颜色
	color_H = (color_H + 1) % 360;
	fillpolygon(pts, 4);													// 填充正方形颜色

	if (((p22.x - p11.x) * (p22.x - p11.x) + (p22.y - p11.y) * (p22.y - p11.y)) > 3 * 3 )	// 正方形的边长 >3 时递归
	
		double a = 60 * PI / 180;					// 60 度形式
//		double a = 45 * PI / 180;					// 45 度形式
		Point p = Rotate(p11, p22, a);
		p = Zoom(p11, p, cos(a));

		Draw(p, p22);
		Draw(p11, p);
	


// 主函数
int main()

	initgraph(640, 480);				// 初始化窗口
	setbkcolor(0xfecaeb);				// 设置背景颜色
	cleardevice();

	Point p1 =  290, 400 ;
	Point p2 =  350, 400 ;
	Draw(p1, p2);

	_getch();
	closegraph();						// 关闭窗口
	return 0;

 其中，改变旋转的角度可以产生不同形状的树。例如，修改 Draw 函数里的 double a 变量为 45 度，可以得到这样的效果：

- End -

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