什么是特征值，怎么求矩阵的特征值啊？

Posted 2023-05-13

矩阵特征值的求法是写出特征方程lλE-Al=0左边解出含有λ的特征多项式比如说是含有λ的2次多项式，我们学过，是可能没有实数解的，(Δ<0)这个时候我们说这个矩阵没有【实特征值】但是如果考虑比如Δ<0时有虚数的解，，也就是有虚数的特征值的这样说来就必有特征值。

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

首先求出方程|λE-A|=0的解，这些解就是A的特征值，再将其分别代入方程（λE-A）X=0中，求得它们所对应的基础解系,则对于某一个λ，以它所对应的基础解系为基形成的线性空间中的任意一个向量，均为λ所对应的特征向量。

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量。

参考技术A 特征值是线性代数中的一个重要概念
在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用
特征值是指设A是n阶方阵
如果存在数λ和非零n维列向量x，使得Ax=λx成立
则称λ是A的一个特征值
非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值λ的特征向量
而求法就是写成行列式式子|A-λE|=0
化简展开之后，得到关于λ的方程，解出其数值即可

啥是高阶矩阵

参考技术A 一、 矩阵的特征值
若矩阵右乘1个矢量后得到的新矢量恰好与原矢量成比例，则称该比例常数为这个矩阵的1个特征值，称该矢量为对应于这个特征值的特征矢量。例如有矩阵A
A=
具有性质：
=4×
表明矩阵A有1个特征值为4，相应特征矢量为（2 1 0）T。
矩阵A的特征值 和对应的右特征矢量q的代数方程是：
A·q= ·q,
该方程是可相乘的，所以A必定是方阵，因此只有方阵才有特征值。
当A是n阶方阵时，上述方程的一般形式为：
（A- ·I）·q=0
任何非平凡解（q=0为平凡解）都必须满足：
=0
此特征方程有一般形式：

据此求解特征值的方法并不是一个好方法。
特征值具有下列性质：
（1） 特征方程可以分解因式为：
（A-3）
即n阶矩阵有n个（可相等也可不相等）特征值。
（2） 矩阵对角元素之和称叫该矩阵的迹（trace）,记作tr（A）：
tr(A)= ，
即矩阵特征值的和等于该矩阵的迹。
（3） ，
即矩阵特征值的乘积等于该矩阵行列式的值。如果矩阵是奇矩阵，则矩阵中至少有一个特征值为0。
（4） 矩阵行列式的值与它的转置矩阵的行列式值相等，因而转置矩阵有相同的特征值。
（5） 一个实矩阵得到的特征方程必定有实系数。因此实矩阵的特征值必定是实数或是共轭复数。
（6） 实对称矩阵A的所有特征值都必定是实数。这也就是说可用实数形式写出其特征矢量。
（7） 三角矩阵的行列式值是其对角元素的乘积。如果A是三角阵，则：

与式（A-3）比较可见，三角矩阵的特征值（对角矩阵也同样）等于其对角元素。
（8） 如果矩阵的行及对应的列之间同时交换，则其特征值保持不变。
（9） 如果矩阵某行乘以f且对应列乘以1／f，则矩阵的特征值不变。
二、 矩阵的特征矢量
除亏损矩阵（矩阵有2个或更多个相等的特征值只对应一个左或右特征矢量）外，矩阵的每个特征值都独立对应一个满足方程：A·q= ·q的右特征矢量。可用消去法求解每一个特征矢量。例如上述方程式中 =1时的右特征矢量求解如下：
=
化为上三角矩阵后，得：q1=q2=2q3。由于方程 ，奇异，方程有无穷多组解，又右端项为0，齐次，必定有解。故任何一个矢量q满足A·q= ·q时，则该矢量的某个倍数也一定满足。
求解一个高阶非对称满秩矩阵的每个特征矢量大约需n3/3次乘法，计算量很大。
可以把全部特征值及对应的右特征矢量组合成一个标准特征值方程：
A(q1 q2 … qn)= (q1 q2 … qn) ，
即AQ=QA。同理，也有左特征矢量。
A和AT具有同样的特征矢量。对于每一个与A的某一个特征矢量对应的特征值也都有AT的一个特征矢量p,使得：
ATp= ·p
转置该方程。特征矢量p可看作是A的一个左特征矢量：
pTA= ·pT
矩阵方程式A·q= ·q,的全部特征值解列于表A-1中。
表A-1 特征值和左右特征矢量
左特征矢量 特征值 右特征矢量
（7 –10 6）T 4 （2 1 0）T
（-1 2 -1）T 1 （2 2 1）T
（1 –2 2）T -8 （-2 1 4）T
对称矩阵的转置仍是它自身。左右特征矢量相同，不必加以区分。表A-2为一例，其特征矢量一已数乘，使最大元素之值为1。
表A-2 对称矩阵的特征值和特征矢量
矩阵 特征值 右特征矢量
92-1 （1 1 1）T（1 –1 0）T（-0.5 –0.5 1）T
三、 对称矩阵特征矢量的正交性条件
设qi和qj是某一对称矩阵A的特征矢量，对应于不同的特征值 和 ，则
和
转置第2个方程： 。经简单变换后有：
和 ，
因为 ，因此2个方程能相容的唯一可能是： 。其中 ，称为特征矢量的正交性条件。
如果把每个特征矢量都乘以适当倍数使下式成立：
。
先不考虑有相同特征值的可能性，正交条件组合成：

用Q表示特征矢量的集合，即Q= ,则有：
QTQ=I=QQT。
任何满足该方程的实矩阵Q称正交矩阵。
正交矩阵具有重要性质：Q-1=QT。因此，Q不是奇异的。
任何矢量都可以表示成一个对称矩阵的特征矢量的线性组合：
，
即：
X=QC 故 C=QTX。
由正交条件可知：
AQ=QA (QTQ=I)，
A=QAQT