矩阵的特征值求解

Posted 2023-05-11

baidu
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追问
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刚才题目弄错了，最后a33=1，麻烦了，这样的话是不是3,3,-3
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回答
改过来特征值3，3，-5
追问
我是这样求的，解出来是-3，
3
，3？
回答
是的，不好意思，是-3，3，3。特征值的和等于对角线各元素之和
追问
那我想知道的是，在这个矩阵下的二次型，如果用lambdaE-A求和用矩阵的初等变换求，特征值是有区别的吗？初等变换后PtAP成了一个对角阵，这三个数一定是这个矩阵的特征值一样么？我求的怎么不一样，不是-3,3，3
回答
相似矩阵P﹣¹
A
P的特征值相同，合同矩阵PT
AP只能说明正负惯性指数相等，此题中PT
AP化成的对角阵只能说明它有两个正的特征值，一个负的特征值。
寒烟hy123
2014-01-15
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分享 参考技术A ax=mx，等价于求m，使得(me-a)x=0，其中e是单位矩阵，0为零矩阵。
|me-a|=0，求得的m值即为a的特征值。|me-a|
是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵a的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。
如果n阶矩阵a的全部特征值为m1
m2
...
mn，则|a|=m1*m2*...*mn
同时矩阵a的迹是特征值之和：tr（a）=m1+m2+m3+…+mn
如果n阶矩阵a满足矩阵多项式方程g(a)=0,
则矩阵a的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过解方程g(m)=0求得。
还可用mathematica求得。

求解矩阵特征值及特征向量

矩阵特征值

定义1：设A是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量使关系式成立，则称这样的数成为方阵A的特征值，非零向量成为A对应于特征值的特征向量。

说明：1、特征向量，特征值问题是对方阵而言的。

　　　2、n阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方程组有非零解的值，即满足方程的都是矩阵A的特征值。

　　　3、

 

定义2：A为n阶矩阵，称为A的特征矩阵，其行列式为的n次多项式，称为A的特征多项式，称为A的特征方程。

说明：1、由定义得，是A的特征值，等价于是其特征方程的根，因此又称为A的特征根。若是的重根，则称为A的重特征值（根）。

　　　2、方程的任意非零解向量，都是对应于的特征向量。

　　　3、A的特征矩阵也可以表示为；

　　　　  特征多项式也可以表示为；

　　　　  特征方程也可以表示为。

          4、求A的特征值就是求的根，求A的相应于的特征向量就是求的非零解向量。

求矩阵A的特征值及特征向量问题就转化为求解多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题。

下面是一些练习：

例 求的特征值和特征向量

解 A的特征多项式为

　 

                                 

    所以A的特征值为，。

　当时，对应的特征向量应满足，

    即

　解得，所以对应的特征向量可取为。故相应于的全体特征向量为

    当时，由，即，解得，所以对应的特征向量可取为。故相应于的全体特征向量为