线性代数之——相似矩阵

Posted 2020-11-22 seniusen

当 (A) 有足够的特征向量的时候，我们有 (S^{-1}AS=Lambda)。在这部分，(S) 仍然是最好的选择，但现在我们允许任意可逆矩阵 (M)，矩阵 (A) 和 (M^{-1}AM) 称为相似矩阵，并且不管选择哪个 (M)，特征值都保持不变。

1. 相似矩阵

假设 (M) 是任意的可逆矩阵，那么 (B = M^{-1}AM) 相似于矩阵 (A)。

[B = M^{-1}AM o A = MBM^{-1}]

也就是说如果 (B) 相似于 (A)，那么 (A) 也相似于 (B)。如果 (A) 可以对角化，那么 (A) 相似于 (Lambda)，它们肯定具有相同的特征值。

相似的矩阵 (A) 和 (M^{-1}AM) 具有相同的特征值，如果 (x) 是 (A) 的一个特征向量，那么 (M^{-1}x) 是 (B = M^{-1}AM) 的特征向量。

[Ax=lambda x o MBM^{-1}x=lambda x o B(M^{-1}x)=lambda (M^{-1}x)]

所有具有特征值 1 和 0 的 2×2 矩阵都是相似的，特征向量会随着 (M) 而改变，但特征值不变。上面的例子中特征值是不重复的，这种情况很好办，但如果有重复的特征值就会比较困难了。

这些 (B) 都和 (A) 一样行列式为 0，秩为 1，一个特征值为 0，并且矩阵的迹为 0，所以另一个特征值也为 0。但零矩阵不和它们相似，因为只有零矩阵自己和自己相似。

从 (A) 到 (B=M^{-1}AM)，有一些东西会改变一些则不变。

相似矩阵的特征值不变，矩阵的迹为特征值的和也不变，矩阵的行列式为特征值的乘积也不变，矩阵的秩不变，针对每个特征值的特征向量数目不变。

2. 若尔当形（Jordan Form）

上面的矩阵有三个特征值 5,5,5 在它的对角线上，唯一的特征向量是 (1, 0, 0) 的倍数，代数重数为 3，几何重数为 1。每个和它相似的矩阵 (B=M^{-1}AM) 都有三重特征值 5,5,5，(B-5I) 的秩也为 2，零空间的维度为 1。和这个若尔当块 (J) 相似的矩阵都只有一个不相关的特征向量 (M^{-1}x)。

此外，(J^T) 和 (J) 相似，并且此时的矩阵 (M) 正好是反恒等矩阵。

由于 (J) 是我们能得到的最接近于对角矩阵的形式，方程 (doldsymbol u/dt=Joldsymbol u) 不能再进一步被简化，我们必须直接利用回带法解决。

对于每个 (A)，我们想要选择一个 (M) 来使得 (M^{-1}AM) 尽可能接近对角形式。当 (A) 有 (n) 个特征向量的时候，它们成为 (M) 的列，然后 (M=S)，(S^{-1}AS=Lambda) 是对角矩阵。在一般情况下，特征向量会缺失，我们并不能完全对角化。假设 (A) 有 (s) 个不相关的特征向量，那么它相似于一个有 (s) 个块的矩阵，每个块都像上面的矩阵 (J) 一样，特征值位于对角线上，并且元素 1 正好位于对角线上面，其中每个块对应于一个特征值。如果有 (n) 个特征向量 (n) 个块，那所有的块都是 1×1 的，(J) 也就变成了 (Lambda)。

(A) 相似于 (B) 如果它们具有相同的若尔当形 (J)，其它情况都不符合。

对于每一个相似矩阵族，我们挑选出一个最特别的成员称为 (J)，这个族中其它的每个矩阵都可以表示为 (A=MJM^{-1})。这时候，我们有 (MJM^{-1}MJM^{-1}=MJ^2M^{-1})，因此我们依然可以用 (MJ^{100}M^{-1}) 来求解 (A^{100})。

相似性的核心在于——让矩阵变得尽可能简单但同时保留它的必要属性。

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