线性代数之特征值和特征向量

Posted 2021-08-29 码上夏雨

特征值和特征向量

• 1. 特征值、特征向量
• • 1.1 定义
  • 1.2 特征多项式和特征方程
  • 1.3 求特征值,特征向量的方法:
  • 1.4 定理
• 2. 相似矩阵
• 3. 实对称矩阵

1. 特征值、特征向量

1.1 定义

设$A$是$n$阶矩阵,如果存在一个数$\lambda$及非零的$n$维列向量$\alpha$,使得

$$A\alpha =\lambda \alpha$$

成立,则称$\lambda$是矩阵$A$的一个特征值,称非零向量$\alpha$是矩阵$A$属于特征值$\lambda$的一个特征向量.
由定义$A\alpha =\lambda \alpha 且\alpha \ne 0$，即$(\lambda E-A)\alpha =0,a\ne 0$可见特征向量$\alpha$是齐次方程组$(\lambda E-A)x=0$的非零解.

1.2 特征多项式和特征方程

设$A=[a_{ij}]$是一个$n$阶矩阵,则行列式
$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda -a_{11}& -a_{12}& \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21}& \lambda -a_{22}& \cdots & -a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \\ -a_{n1}& a_{n2}& \cdots & \lambda -a_{nn}\end{array}\right|$$
为矩阵$A$的特征多项式,$|\lambda E-A|=0$成为$A$的特征方程

1.3 求特征值,特征向量的方法:

1. 先由$|\lambda E-A|=0$求矩阵A的特征值${\lambda }_i$(共$n$个).再由$(\lambda E-A)x=0$求基础解系,即矩阵$A$属于特征值${\lambda }_i$的线性无关的特征向量.
2. 用定义$A\alpha =\lambda \alpha$推理分析.

1.4 定理

定理
定理如果${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_i$都是矩阵$A$的属于特征值$\lambda$的特征向量,那么当$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_i{\alpha }_i$非零时,$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_i{\alpha }_i$是矩阵$A$的属于特征值$\lambda$的特征向量

定理
如果${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_i$是矩阵A的互不相同的特征值,${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_i$分别是与之对应的特征向量,则${\alpha }_1,{\alpha }_2,以上是关于线性代数之特征值和特征向量的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章$

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