杨辉三角的第n行第n个数的求法（公式）

Posted 2023-05-11

杨辉三角的第n行第n个数为1。C(n，n)=1。

杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：

1 

1 1 

1 2 1 

1 3 3 1

1 4 6 4 1 

1 5 10 10 5 1 

1 6 15 20 15 6 1 

……

其中第n行的第n个数为每行最后一个数，都为1。

扩展资料：

杨辉三角特征

1、每个数等于它上方两数之和。

2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

3、第n行的数字有n项。

4、第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。

参考资料来源：百度百科-杨辉三角

参考技术A

杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如下：

1 n=0

1 1 n=1

1 2 1 n=2

1 3 3 1 n=3

1 4 6 4 1 n=4

1 5 10 10 5 1 n=5

1 6 15 20 15 6 1 n=6

……

特征

与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式 展开式的系数列.

对称性：杨辉三角中的数字左、右对称,对称轴是杨辉三角形底边上的“高”.

结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数,都等于它“肩上”的两数之和.

这些数排列的形状像等腰三角形,两腰上的数都是1.

扩展资料：

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。

前提：每行端点与结尾的数为1.

每个数等于它上方两数之和。

每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

第n行的数字有n项。

第n行数字和为2n-1。

第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。

每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。

(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。

参考技术B

杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如下：
1 n=0

1 1 n=1

1 2 1 n=2

1 3 3 1 n=3

1 4 6 4 1 n=4

1 5 10 10 5 1 n=5

1 6 15 20 15 6 1 n=6
……

特征
与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式 展开式的系数列.

对称性：杨辉三角中的数字左、右对称,对称轴是杨辉三角形底边上的“高”.

结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数,都等于它“肩上”的两数之和.

这些数排列的形状像等腰三角形,两腰上的数都是1.

从右往左斜着看,从左往右斜着看,和前面的看法一样,这个数列是左右对称的.

上面两个数之和就是下面的一行的数.

这行数是第几行,就是第二个数加一.

拓展：

杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

杨辉三角形同时对应于二项式定理的系数。

n次的二项式系数对应杨辉三角形的n + 1行。

例如在中，2次的二项式正好对应杨辉三角形第3行系数1 2 1。

杨辉三角以正整数构成，数字左右对称，每行由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 

第n行的数字个数为n个。 

第n行的第k个数字为组合数。 

第n行数字和为2n − 1。

参考技术C 杨辉三角的第n行第n个数为1。C(n，n)=1。

杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

……

其中第n行的第n个数为每行最后一个数，都为1。

扩展资料：

杨辉三角特征

1、每个数等于它上方两数之和。

2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

3、第n行的数字有n项。

4、第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。 参考技术D 你想要什么公式：
1
1,2,1
1,3,3,1
1,4,6,4,1
1,5,10,10,5,1
1,6,15,20,15,6,1
公式是C（m，n）（C的上面是m，下面是n）
（1）第几行，n就是几，
（2）比如第6行，第一个数是Cº6=1（和第7个数相同）
第二个设是C¹6=1（和第6个数相同）
第三个设是C²6=15（和第5个数相同）
第四个数是C³6=20

数列前n项和都有哪些求法？

1、公式法求和
（1）等差数列
(2)等比数列q=i和q≠1
（3）几个常见数列的前n项和：①1+2+3+…+n＝［n（n＋1）］／2
②1＾2＋2＾2＋3＾2+…+n＾2＝［n（n＋1）（2n＋1）］／6
③1＾3＋2＾3＋3＾3＋…+n＾3＝［n（n＋1）］＾2／4
2、倒叙相加法：将一个数列倒过来排列（反序），当它与原来数列对应相加时，如有公因式可提，并且剩余项的和易于求得则可用此法，它是等差数列求和公式的推广。
3、错位相减法（推导等比数列的前n项和公式时所用的方法）
4、裂项相消法：前提是数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，一般形如1/a（n+1）an（其中an是等差数列）的数列可用此法。常用裂项技巧有：（1）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)](2)1/(√(n+k)+√n)=1/k[√(n+k)-√n]
(3)1/[(2n+1)(2n-1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(4)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
5、分组转化求和：有一类数列，既不是等差，也不是等比，但若把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，就能转化为等差或等比，从而利用等差、等比数列的求和公式解决。 参考技术A 常用的，有两种：（这两个方法，教科书上都有）
一是，等差数列求和方法：倒写相加法
其次，等比数列求和方法：错位相减法
后者用的很多，不仅仅局限于等比数列求和，还适用于一个等差数列乘以一个等比数列构成的新数列的和，即an*bn，其中an是等差数列，公差是d，bn是等比数列，公比是q，
那么an*bn的前n项和
Sn
=
a1*b1
+
a2*b2
+
...
+
an*bn，只要两边同乘以q，
q*Sn
=
a1*b1*q
+
a2*b2*q
+
...
+
an*bn*q
=
a1*b2
+
a2*b3
+
...
+
an*b(n+1)
两式错位相减得
(1-q)*Sn
=
a1*b1
+
d*(b2
+
b3
+
...
+
bn)
-
an*b(n+1)
=
...
后面的应该会了 参考技术B (一）
等差数列的前n项和(分组求和)sn
＝（1＋1）＋[a^(-1)+4]＋[a^(-2)+7]＋……＋[a^(1-n)+(3n-2)]
＝[1＋a^(-1)+a^(-2)＋……＋a^(1-n)]
+
[1＋4＋7+……＋(3n-2)]
前者为等比数列，公比为a^(-1)
后者为等差数列，公差为3
=[1-a^(-n)]/(1-a)+[1+(3n-2)]*n/2
=[1-a^(-n)]/(1-a)+(3n-1)n/2
(裂项法求和
)
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
通项分解（裂项）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
[例]
求数列an=1/n(n+1)
的前n项和.
解：设
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂项）
则
sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
＝
1-1/(n+1)
＝
n/(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意：
余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。（二）(1)
等比数列：a
(n+1)/an=q
(n∈n)。
(2)
通项公式：an=a1×q^(n-1)；
推广式：an=am×q^(n-m)；
(3)
求和公式：sn=n×a1
(q=1)
sn=a1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-an×q)/(1-q)
(q≠1)
(q为公比，n为项数）