0001~约瑟夫问题

Posted 2020-11-21 dujianfeng

1. 一个杀人游戏

这个问题是以弗拉维奥?约瑟夫命名的，它是1世纪的一名犹太历史学家。他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意，他不知道是哪一个。^[1]

2. 数学解法一

传统解法为循环链表模拟出队流程，详见[1]。这里讨论更高效的数学解法。

要求解的是最后剩下的人的编号。解决思路是如果将杀人后的环重新编号，可以让求解的问题仍与杀人前等价，但问题规模（人数n）却可以减小 1，这样只要找到杀人前后新旧编号的递推关系，就可以利用规模为 1 时最后剩下人的编号一定为 0 的特点，反推回更大问题规模时的编号。


囚犯个数为 n，每次杀掉第 m 个人，囚犯编号从 0 到 n - 1。

从 0 开始编号是为了下面公式中求余情况简单，不然如从 1 开始编号，当对 n 求余为 0 时要特殊修正为 n，在求解出
编号后可以通过加 1 恢复成常见的从 1 开始编号方式

如规模为 n 时某个人 X，对应编号记为 Xⁿ ，规模变为 n - 1 时，从被杀的那个人后重新编号，X 的新编号为 X^{n - 1}。

可以通过下面的例子看出 X^{n - 1} 与 Xⁿ 相差为被杀的那个人编号加 1，即 m % n， 但考虑 X^{n - 1} + m % n 后可能超过 n，因此最终关系为 Xⁿ = (X^{n - 1} + m % n) % n，根据同余性质 ^[2] ，等价为 Xⁿ = (X^{n - 1} % n + m % n) % n，等价为 Xⁿ = (X^{n - 1} + m) % n


对于 n = 5, m = 8

Xn	0	1	2	3	4
杀人后	0	1	被杀	3	4
Xn - 1	2	3		0	1

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