矩阵论-符号和基本概念, since 2021-01-17

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了矩阵论-符号和基本概念, since 2021-01-17相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

参考技术A

(2021.01.17)


对称半正定方阵


对称正定方阵



矩阵 的广义逆


矩阵 的Moore-Penrose广义逆


满足 且具有最大秩的矩阵


矩阵 的秩


矩阵 的行列式


矩阵 的范数


方阵 的迹


的第 个顺序特征根


矩阵 的列向量张成的子空间


向 的正交投影变换阵


分量皆为1的列向量


将 的列向量依次排成的列向量


的上确界Supremum


的下确界Infimum


与 的Kronecher乘积


随机变量或向量的 的均值


随机变量 的方差


随机变量或向量 , 的协方差


均值为 ,协方差阵为 的随机变量


均值为 ,协方差阵为 的 维正态向量

LS估计
最小二乘估计

BLU估计
最佳线性无偏估计

MVU估计
最小方差无偏估计

MINQUE
最小范数二次无偏估计

RSS
回归平方和

SS e
残差平方和

MSE
均方误差

MSEM
均方误差矩阵

GMSE
广义均方误差

矩阵的秩
一个矩阵 的列秩是 的线性独立的纵列的极大数,表示为 。

方阵的列秩和行秩总是相等的,因此可以简单的称作矩阵 的秩。 矩阵的秩最大为 和 中的较小值,即 。有尽可能大的秩的矩阵被称为有 满秩

设A是一组向量,定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

矩阵的迹 trace
阶方阵 的主对角线的和,称为矩阵的迹。矩阵 中在 行 列的元素是 ,迹 。

线性独立 linearly independent
向量的线性独立,指一组向量中任意一个向量都不能由其他几个向量线性表示。或这些向量的线性组合等于0时,其系数只能是0.

一组向量 ,另有一组未知的系数 。若 中的 没有非零解,则向量 线性独立。

(2021.01.21 Thur)
对称矩阵symmetric matrices
以对角线为中心,对应位置相等的矩阵,就是对称矩阵。用 表示一个矩阵的第 行第 列元素,则有

单位矩阵Identity Matrix
一个方阵的对角线都是1,其他元素是0,称为单位矩阵,用 或 表示。可记为

逆矩阵
对于n阶矩阵 存在n阶矩阵 ,使得 ,则称矩阵 可逆, 是 的逆矩阵。记为 。

转置transposition
一个矩阵的行与列调换,即 。矩阵 的转置表示为 或 。

正交矩阵
一个矩阵与其转置的积是单位阵,则该矩阵是正交矩阵。 或 。

正定矩阵positive definite matrix

半正定矩阵positive semi-definite matrix
是n阶方阵,对于任意非零向量 ,有 ,则称 是半正定矩阵。

(2021.01.23 Sat)
奇异矩阵singular matrix
奇异矩阵的条件:方阵、矩阵的行列式为0。非奇异矩阵和奇异矩阵都是方阵。

(2021.01.24 Sun)
特征值 characteristic value / eigenvalue
对一个 阶方阵 ,有一个数 和一个非零 维列向量 使关系式 成立,这样的数 称为方阵 的特征值,向量 称为方阵 对应特征值 的特征向量。表达式 的另一种表达式是 。这是一个 个未知数 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是行列式 。该行列式称为矩阵 的特征多项式。

特征方程
是一个 次代数方程,称为 的特征方程。特征方程的根称为矩阵 的特征根。

(2021.01.29 Fri)
矩阵分解
定理:实数构成的方阵可以对角化分解。
证明:一个 阶的矩阵 可以分解为 其中 的每一列都是特征向量, 对角线上的元素是从大到小排列的特征值。将 表示成 。根据特征值特征向量的定义,有 因此有 ,其中 是 的特征向量的集合, 是对角阵,对角线的元素是 特征值从大到小排列。
定理:实数对称方阵可正交对角化。
一个 阶的实对称矩阵 ,存在一个对称对角化分解 其中 的列是特征向量且标准正交, 是对角阵,对角元素是 的特征值由大到小排列。

设 ,矩阵 可写成

根据一个矩阵 求其正交对角阵分解的过程:

奇异值分解( 这篇文章 也有相同的内容)

(2021.01.27 Wed)
正交基和标准正交基
内积dot product/inner product: 维向量 和 的内积表示为 。
正交orthoganality:向量空间中的两个向量的内积为0,则这两个向量正交。
正交基:一个内积空间的正交基,是元素两两正交的基。
标准正交基:正交基的基向量的模长都是1,则该正交基是标准正交基。
比如, 是 的一组正交基。 是 的一组标准正交基。

(2021.02.21 Sun)
代数余子式algebraic cofactor
在 阶行列式中,将元素 所在的第 行第 列元素划去后,留下的 阶行列式 ,称为 的余子式。设 ,则 称作元素 的代数余子式。

代数余子式的大小只与元素的位置 有关系。

阶行列式 中任意选定 行 列划去,余下的元素按原来顺序组成的 阶行列式 ,称为行列式 的 阶子式 的余子式 。
的行与列在 中的标记分别为 和 ,则行列式 的 阶子式 的代数余子式是

幂等矩阵idempotent matrix
若方阵 满足 ,则称 是幂等矩阵。
投影矩阵
既是对称阵,有时幂等矩阵,即 ,则 是投影矩阵。
幂等矩阵的性质

...

(2021.04.06 Tues)
相容方程consistent system
若线性方程组 有解,则称 为相容方程组,也可以成为线性方程组 相容。若其无解则称为不相容。

[图论笔记]基本概念

什么是图

定义

  • 一个G是由一个顶点集V(G)、一个边集E(G)和一个关系构成的三元组,其中的关系使得每一条边与两个顶点(不一定是不同的顶点)相关联,并将这两个顶点称为这条边的端点
  • 一个是两个端点相同的一条边。重边是具有同一对端点的多条边。
  • 简单图是不含圈和重边的图。
  • 顶点集和边集是空集的图称为空图

    图模型

  • 一个简单图G补图\\overline{G}也是一个简单图,其顶点集为V(G),且uv\\in E(\\overline{G})当且仅当uv\\not \\in E(\\overline{G})
  • 是图中两两相邻的顶点构成的集合。独立集(或稳定集)是图中由两两互不相邻的顶点构成的集合。

以上是关于矩阵论-符号和基本概念, since 2021-01-17的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

图论概述

醍醐灌顶之-线性代数-矩阵论

基础图论总结

[图论笔记]基本概念

图论一角

哪有可使用的矩阵论视频教程资源