矩阵论-符号和基本概念, since 2021-01-17

Posted 2023-05-02

参考技术A

(2021.01.17)

对称半正定方阵

对称正定方阵

矩阵 的广义逆

矩阵 的Moore-Penrose广义逆

满足 且具有最大秩的矩阵

矩阵 的秩

矩阵 的行列式

矩阵 的范数

方阵 的迹

的第 个顺序特征根

矩阵 的列向量张成的子空间

向 的正交投影变换阵

分量皆为1的列向量

将 的列向量依次排成的列向量

的上确界Supremum

的下确界Infimum

与 的Kronecher乘积

随机变量或向量的 的均值

随机变量 的方差

随机变量或向量 ， 的协方差

均值为 ，协方差阵为 的随机变量

均值为 ，协方差阵为 的 维正态向量

LS估计
最小二乘估计

BLU估计
最佳线性无偏估计

MVU估计
最小方差无偏估计

MINQUE
最小范数二次无偏估计

RSS
回归平方和

SS e
残差平方和

MSE
均方误差

MSEM
均方误差矩阵

GMSE
广义均方误差

矩阵的秩
一个矩阵 的列秩是 的线性独立的纵列的极大数，表示为 。

方阵的列秩和行秩总是相等的，因此可以简单的称作矩阵 的秩。 矩阵的秩最大为 和 中的较小值，即 。有尽可能大的秩的矩阵被称为有 满秩 。

设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

矩阵的迹 trace
阶方阵 的主对角线的和，称为矩阵的迹。矩阵 中在 行 列的元素是 ，迹 。

线性独立 linearly independent
向量的线性独立，指一组向量中任意一个向量都不能由其他几个向量线性表示。或这些向量的线性组合等于0时，其系数只能是0.

一组向量 ，另有一组未知的系数 。若 中的 没有非零解，则向量 线性独立。

(2021.01.21 Thur)
对称矩阵symmetric matrices
以对角线为中心，对应位置相等的矩阵，就是对称矩阵。用 表示一个矩阵的第 行第 列元素，则有

单位矩阵Identity Matrix
一个方阵的对角线都是1，其他元素是0，称为单位矩阵，用 或 表示。可记为

逆矩阵
对于n阶矩阵 存在n阶矩阵 ，使得 ，则称矩阵 可逆， 是 的逆矩阵。记为 。

转置transposition
一个矩阵的行与列调换，即 。矩阵 的转置表示为 或 。

正交矩阵
一个矩阵与其转置的积是单位阵，则该矩阵是正交矩阵。 或 。

正定矩阵positive definite matrix

半正定矩阵positive semi-definite matrix
是n阶方阵，对于任意非零向量 ，有 ，则称 是半正定矩阵。

(2021.01.23 Sat)
奇异矩阵singular matrix
奇异矩阵的条件：方阵、矩阵的行列式为0。非奇异矩阵和奇异矩阵都是方阵。

(2021.01.24 Sun)
特征值 characteristic value / eigenvalue
对一个 阶方阵 ，有一个数 和一个非零 维列向量 使关系式 成立，这样的数 称为方阵 的特征值，向量 称为方阵 对应特征值 的特征向量。表达式 的另一种表达式是 。这是一个 个未知数 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是行列式 。该行列式称为矩阵 的特征多项式。

特征方程
是一个 次代数方程，称为 的特征方程。特征方程的根称为矩阵 的特征根。

(2021.01.29 Fri)
矩阵分解
定理：实数构成的方阵可以对角化分解。
证明：一个 阶的矩阵 可以分解为 其中 的每一列都是特征向量， 对角线上的元素是从大到小排列的特征值。将 表示成 。根据特征值特征向量的定义，有 因此有 ，其中 是 的特征向量的集合， 是对角阵，对角线的元素是 特征值从大到小排列。
定理：实数对称方阵可正交对角化。
一个 阶的实对称矩阵 ，存在一个对称对角化分解 其中 的列是特征向量且标准正交， 是对角阵，对角元素是 的特征值由大到小排列。

设 ，矩阵 可写成

根据一个矩阵 求其正交对角阵分解的过程：

奇异值分解( 这篇文章 也有相同的内容)

(2021.01.27 Wed)
正交基和标准正交基
内积dot product/inner product： 维向量 和 的内积表示为 。
正交orthoganality：向量空间中的两个向量的内积为0，则这两个向量正交。
正交基：一个内积空间的正交基，是元素两两正交的基。
标准正交基：正交基的基向量的模长都是1，则该正交基是标准正交基。
比如， 是 的一组正交基。 是 的一组标准正交基。

(2021.02.21 Sun)
代数余子式algebraic cofactor
在 阶行列式中，将元素 所在的第 行第 列元素划去后，留下的 阶行列式 ，称为 的余子式。设 ，则 称作元素 的代数余子式。

代数余子式的大小只与元素的位置 有关系。

阶行列式 中任意选定 行 列划去，余下的元素按原来顺序组成的 阶行列式 ，称为行列式 的 阶子式 的余子式 。
的行与列在 中的标记分别为 和 ，则行列式 的 阶子式 的代数余子式是

幂等矩阵idempotent matrix
若方阵 满足 ，则称 是幂等矩阵。
投影矩阵
既是对称阵，有时幂等矩阵，即 ，则 是投影矩阵。
幂等矩阵的性质

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(2021.04.06 Tues)
相容方程consistent system
若线性方程组 有解，则称 为相容方程组，也可以成为线性方程组 相容。若其无解则称为不相容。

[图论笔记]基本概念

什么是图

定义

• 一个图是由一个顶点集、一个边集和一个关系构成的三元组，其中的关系使得每一条边与两个顶点（不一定是不同的顶点）相关联，并将这两个顶点称为这条边的端点。
• 一个圈是两个端点相同的一条边。重边是具有同一对端点的多条边。
• 简单图是不含圈和重边的图。
• 顶点集和边集是空集的图称为空图。

  图模型

• 一个简单图的补图也是一个简单图，其顶点集为，且当且仅当。
• 团是图中两两相邻的顶点构成的集合。独立集（或稳定集）是图中由两两互不相邻的顶点构成的集合。

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