Lucas定理及应用

Posted 2020-11-19 ztz11

额，前两天刚讲了数据结构，今天我来讲讲组合数学中的一种奇妙优化——Lucas

先看这样一个东西

 

没学过lucas的肯定会说：还不简单？处理逆元，边乘边膜呗

是，可以，但注意一下数据范围

你算这一次，你需要跑25000下

那么你如果求C199999 1~C199999 52222 呢？

你会发现你的复杂度上天了

所以我们会用到一个神奇的定理：Lucas定理

定理内容如下：
　　Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)

不好玩，是吗？

那么我来证明一下

由二项式定理可得，cmn等于（x+1）^m中n次项的系数

那么我们按Lucas展开

原式=(x+1)^(p^k*ak)*(x+1)^(p^(k-1)*a(k-1))*……*(x+1)^(p*a1)+(x+1)^(1*a0)

=[(x+1)^(p^k)]^ak……

由费马小定理可知，其%p后可转化为 (x+1)^ak*(x+1)^a(k-1)*……*(x+1)^a1*(x+1)^a0

原题转化为求上式的n次项的系数

同理，由于每一项已经消去了p^k次方 故即求每一项中的bk次项系数 即为Lucas

有什么用呢？

以前的组合数，我们一位一位地算（累死了）

现在的组合数，我们只用算%p出来的（这不就是log p m次吗？）

O(n)到O（logn）

大有长进啊

大家应该都会

下面看几道好题

combination【bzoj2928】

裸的板子，不说什么

《瞿葩的数字游戏》T3-三角圣地

带了预处理阶乘的Lucas

[SHOI2015]超能粒子炮·改

lucas合并

礼物，古代猪文

扩展Lucas