Lucas 定理

Posted 2021-03-13 thornblog

Lucas定理

内容

[ C^{n}_{m}equiv C^{lfloor frac{n}{p} floor}_{lfloor frac{m}{p} floor} imes C^{n\%p}_{m\%p}quad(mod;p) ]

条件是 (p) 为质数。

(Lucas) 定理的主要作用是当组合数过大，无法处理其中 (n) 和 (m) 的阶乘。通过展开将其表示成累积形式。

复杂度为 (O(log^n)) 。

注意，由于实际上是将问题转移到 (p) 身上，所以 (Lucas) 的局限是 (p) 不能太大。

证明

• 首先提出一个引理：(pmid C^{i}_{p}quad(p=1,2,3,cdots,p-1))

  证明如下：
  [ f 原式等于：scr frac{overbrace{p(p-1)cdots (p-i+1)}^{i}}{i!} ]
  易知一个数 (x) 在长度为 (x) 的连续自然数中必有一个整倍数。

  那么可以知道下面的 (i) 一定对应上面的某数。

  但是可以知道，小于 (p) 的数中只有 (1) 可以整除它，那么我们就可以知道 (1) 对应 (p) ，在除完后 (p) 这个因子被保留了下来，当然可以被 (p) 整除。

下面正式开始证明。

利用了二项式展开，已知：
[ (1+x)^{np+m}equiv ((1+x)^p)^n imes(1+x)^{m}quad(mod;p) ]
我们知道，在 ((1+x)^p) 的二项式展开式里，所有项前面都有一个 (C^{i}_{p}) ，那么除了 (1) 和 (x^p) 两项，其他都可以被 (p) 整除。所以上式等同于：
[ (1+x^p)^n imes(1+x)^mequivsum^{n}_{i=1}C^{i}_{n}x^{ip};sum^{m}_{j=1}C^{j}_{m}x^jquad(mod;p) ]
那么，在项 (x^{rp+s}) 项前的系数，用原二项式展开式和推出来的式子表示应该是一样的：
[ C^{rp+s}_{np+m}equiv C^{r}_{n};C^{s}_{m}quad(mod;p) ]
即为：
[ C^{n}_{m}equiv C^{lfloor frac{n}{p} floor}_{lfloor frac{m}{p} floor} imes C^{n\%p}_{m\%p}quad(mod;p) ]

从另一个角度来看，其实是对 (n) 和 (m) 进行 (p) 进制展开。

MOD 及奇怪的小细节

luogu P3807

实际操作时 (n\%p) 项小于 (p) 可以直接算，但是 (lfloor frac{n}{p} floor) 项要继续递归求解。

还有一个问题要注意，计算中， (n\%p) 是可能比 (m\%p) 大的，要怎么处理呢？

从组合意义上，算 (0) 当然是没错，即为：一旦有 (n\%p) 比 (m\%p) 大，就会是 (p) 的整倍数。

结论很奇怪，我们还是来证明一下：
[ f 设 ;scr a=np+m,b=kp+squad f 其中;scr m>s,k>n\ f那么：; m C^{a}_{b}=frac{(kp+s)(kp+s-1)cdots(np+m+1)}{((k-n)p+(s-m))!} ]
分子中有 (k-n) 个 (i imes p) 项；当 (s<m) ，即 (s-m <0) 时，分母只有 (k-n-1) 个 (i imes p) 项。

可见最后有一个因子 (p) 被保留下来了。当然这时模 (p) 值为 (0) 。

最后上代码：

(frak code)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;


int t;
int n,m,mod,ans;
int fac[100005];

int get_inv(int x,int p){
    int ret=1;
    int q=p-2;
    while(q>0){
        if(q&1) ret=(1ll*ret*x)%p;
        x=(1ll*x*x)%p;
        q>>=1;
    }
    return ret; 
} 

int c(int a,int b,int p){
    if(b<a) return 0;   
    return (1ll*(1ll*fac[b]*get_inv(fac[a],p))*get_inv(fac[b-a],p))%p;
}

int lucas(int a,int b,int p){
    if(b==0) return 1;
    return (1ll*lucas(a/p,b/p,p)*c(a%p,b%p,p)%p);
}



int main()
{
    fac[0]=1;
    fac[1]=1;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d %d %d",&n,&m,&mod);
        for(int i=2;i<=n+m;i++){
            fac[i]=(1ll*fac[i-1]*i)%mod;
        }
        ans=lucas(n,n+m,mod);
        printf("%d
",ans%mod);
    }
    return 0;
}

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(frak by;thorn\_)