lucas定理

Posted 2020-11-19 dukelv

lucas是求组合数C（m,n）%p,有一个公式：C(m,n) = C(m/p,n/p)*C(m%p,n%p)。

还有一个线性求乘法逆元。a[i] = (p - p / i) * a[p % i] % p;或者是费马小定理，i在p下的逆元就是i^(p - 2)。然后从后往前推。

两种代码：

第一种：

for(int i=2;i<=n+m;i++) 
    a[i]=(p-p/i)*a[p%i]%p;
for(int i=2;i<=n+m;i++) 
　　a[i]=a[i-1]*a[i]%p;

第二种:

for(int i = 1;i <= n;i++)
    sum[i] = sum[i - 1] * i % p;//阶乘 
inv[k] = pow(sum[k],p - 2);
for(int i = k - 1;i >= 0;i++)
{
    inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % p;//阶乘逆元
}

然后是lucas：

int lucas(int x,int y)
{
    if(x < y) return 0;
    else if(x < p) return sum[x] * inv[y] * inv[x-y] % p;
    else return lucas(x/p,y/p) * lucas(x%p,y%p) % p;
}