素数求解及其优化
Posted _NiuLi
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了素数求解及其优化相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
题目一：
请实现一个函数，对于给定的整型参数N，依次打印出小于N的素数。
解法一：试除法
由素数的定义我们很自然的会想到如下代码：
#include <stdio.h>
void print_prime(int n)
int i=0;
for(i=2;i<=n;i++)
int j=0;
for(j=2;j<i;j++)
if(0==i%j)
break;
if(j==i)
printf("%d\\t",i);
int main()
int num=0;
scanf("%d",&num);
print_prime(num);
return 0;
在上面的代码中，我们看到在判断素数时一直从2试除到n－1。这里从n／2之后的数到n－1的试除显然是多余的，比如某个数不能被3整除，必然不能被6整除。
优化1:
试除的范围优化到［2，n／2］，这样一下子就将工作量减少了一半，代码如下：
void print_prime(int n)
int i=0;
for(i=2;i<=n;i++)
int j=0;
for(j=2;j<=i/2;j++) //修改部分
if(0==i%j)
break;
if(j==(i/2+1)) //修改部分
printf("%d\\t",i);
既然能将试除范围优化到［2，n/2］，那么这个范围是不是还能优化呢？答案是可以的，在［2，n/2］这个范围里（√n，n／2］的试除也是多余的。因为因数是成对出现的，比如16可分解为：1和16 、2和8、4和4、8和2、16和1。这些因数里必然有一个小于等于4。所以只需试除小于等于√n的数就可以了。
优化2:
试除范围优化为［2，√n］，代码如下：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
void print_prime(int n)
int i = 0;
for (i = 2; i <= n; i++)
int j = 0;
for (j = 2; j <= sqrt(i); j++) //修改部分
if (0 == i%j)
break;
if (j >sqrt(i)) //修改部分
printf("%d\\t", i);
int main()
int num = 0;
scanf("%d", &num);
print_prime(num);
return 0;
上面所有的代码在找素数的时候是从2到n，在这个范围内除了2之外的偶数都不是素数，所以我们可以跳过这些偶数。
还有试除范围内除了2之外的偶数也是没有必要的，因为如果不能被2整除，必然不能被大于2的偶数整除。
优化3：
寻找素数时跳过偶数、试除范围跳过除2之外的偶数。代码如下：
void print_prime(int n)
int i = 0;
if (n >= 2) //修改部分
printf("%d\\t", 2);
for (i = 3; i <= n; i+=2) //修改部分
int j = 2;
if(0==i%j) //修改部分
break;
for (j = 3; j <= sqrt(i); j+=2) //修改部分
if (0 == i%j)
break;
if (j >sqrt(i))
printf("%d\\t", i);
其实在上面的代码中，试除范围内的一些数也是不必要的。比如判断101是否为素数时，要分别试除小于10的2和所有奇数，即2、3、5、7、9，其实对9的试除是不必要的。即对所有的非素数的试除是不必要的，因为非素数必然可分解为比它小的素数的乘积，既然它的质因数不能整除某个数，这个数必然也不能。故试除的范围可缩小到小于等于√n的所有素数。
优化4:
只试小于√n的素数
那么问题来了，要试除这些素数时必然要将前面求出的素数保存起来，开辟多大一块空间合适呢？因为n的大小未知，所以无法确定开辟多少空间。这里可以使用动态内存开辟空间，当空间不够时使用realloc()追加空间。
代码实现如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define LEN 10 //每次开辟空间的大小
void print_prime(int n)
int *p = (int*)calloc(sizeof(int),LEN);
if (p == NULL)
printf("out of memory !\\n");
exit(EXIT_FAILURE);
int i = 0, j = 1;
int count = 1;
if (n >= 2) //第一个素数，输出并保存起来
printf("%d\\t", 2);
p[0] = 2;
for (i = 3; i <= n; i += 2)
int k = 0;
while (p[k]>0 && p[k] <= sqrt(i)) //试除保存的素数
if (i%p[k] == 0)
break;
k++;
if (!p[k] || (p[k] > sqrt(i))) //将新求出的素数保存起来
printf("%d\\t", i);
if (j >= (LEN*count))
count++;
p = realloc(p, sizeof(int)*LEN*count);
if(p==NULL)
exit(EXIT_FAILURE);
p[j] = i;
j++;
free(p);
int main()
int num = 0;
scanf("%d", &num);
print_prime(num);
return 0;
解法二：筛法
这种方法求素数的思想就是，不断筛去最小的数的倍数。这个最小的数必然是素数。
比如最小的素数是2，去掉所有2的倍数；接下来最小的数是3，3就是素数，去掉所有的3的倍数；依次类推，直到最小的数小于等于√n为止。为什么是√n呢？ 在上面的试除法中讲到只要试除小于等于√n的所有素数即可判断出小于等于n的所有素数，这里同样适用，只要去掉所有的小于等于√n的所有数的倍数，剩下的数就是小于等于n的所有素数。
代码如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
void print_prime(int n)
int *arr=(int*)malloc(sizeof(int)*n);
if (arr == NULL)
printf("out of memory !\\n");
exit(EXIT_FAILURE);
int i = 0, j = 0;
for (i = 0; i < n - 1; i++) //初始化数组［2，n］
arr[i] = i + 2;
while (arr[j] <= sqrt(n)) //除数的范围
for (i = j + 1; i < n - 1; i++)
if (arr[i] % arr[j] == 0)//筛去arr[i]的倍数
arr[i] = 0;
j++;
while (!arr[j]) //确定最小数
j++;
for (i = 0; i < n - 1; i++) //打印素数
if (arr[i])
printf("%d\\t", arr[i]);
free(arr);
int main()
int num = 0;
scanf("%d", &num);
print_prime(num);
return 0;
上面的代码有一个很明显的缺陷就是开辟的空间过大，如何来解决这个问题呢？
上面代码所开辟的空间为int型，占用空间太多，我们可以构造一个bool型数组，以下标来存储数据，这样就节省了75%的空间。
优化1：
构造bool型数组，以下标来存储数据,每个数只占一个字节。
代码如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <math.h>
void print_prime(int n)
bool *arr=(bool*)malloc(sizeof(bool)*n);
if (arr == NULL)
printf("out of memory !");
exit(EXIT_FAILURE);
int i = 0, j = 2;
for (i = 0; i <= n; i++)//初始化数组为true
arr[i] = true;
while (j <= sqrt(n)) //除数的范围
for (i = j + 1; i <= n; i++)
if (i%j == 0)
arr[i] = false; //筛除
j++;
while (!arr[j]) //寻找最小数
j++;
for (i = 2; i <= n; i++) //打印素数
if (arr[i])
printf("%d\\t", i);
free(arr);
int main()
int num = 0;
scanf("%d", &num);
print_prime(num);
return 0;
上面的代码使用bool类型占一字节来存储数据，想到这里，我们是不是可以用位来存储数据，一个字节有8位，每位节用bool值来表示这样空间利用率会大大的提高。
优化2:
构造定长的byte数组，用bit位存储数据
代码如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
//将ch的第position位 置0
unsigned char set_bit_0(unsigned char ch, int position)
return ch & (~ ( (unsigned char)pow(2, position) ) );
//找arr指向的内存第position个位起，第一个不为0的比特位
int check_bit_1(int num,const unsigned char *arr, int pos)
while (pos<= num)
if (( (arr[pos / 8] >> (pos % 8) ) & 1) == 1)
return pos;
pos++;
return 0;
//求解素数
void print_prime(int n)
unsigned char *arr = (unsigned char*)malloc(sizeof(unsigned char)*n / 8+1);
if (arr == NULL)
printf("out of memory !\\n");
exit(EXIT_FAILURE);
int i = 0,j=2;
for (i = 0; i < n/8+1; i++) //将bit数组置为全1
arr[i] = 0xff;
while (j <= sqrt(n)) //筛除范围
for (i = j + 1; i <= n; i++)
if (i%j == 0) //将非素数对应的位 置0
arr[i / 8] = set_bit_0( arr[i / 8] , i % 8);
j++;
j = check_bit_1(n,arr, j);
if (j == 0)
break;
for (i = 2; i <= n; i++) //打印素数
i = check_bit_1(n,arr, i);
if (i == 0)
break;
printf("%d\\t", i);
int main()
int num = 0;
scanf("%d", &num);
print_prime(num);
return 0;
题目二：
从小到大依次打印N个素数
解法一：试除法
经过题目一的求解优化，这里直接给出试除法优化的终极版：试除保存起来的素数。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
void print_N_prime(int num)
int count = 0;
int i = 3,j=0,flag=2;
int *arr = calloc(num,sizeof(int));
if(arr==NULL)
printf("out of memory !\\n");
exit(EXIT_FAILURE);
arr[0] = 2;
count = 1; //统计素数的个数
while (count<num)
for (j = 0; arr[j] <= sqrt(i) && arr[j] ; j++) //试除判断素数
if (i%arr[j] == 0)
break;
if (arr[j] > sqrt(i))
arr[count]=i;
count++;
i++;
for (i = 0; i < count; i++) //打印素数
printf("%d\\t", arr[i]);
int main()
int n = 0;
scanf("%d", &n);
print_N_prime(n);
return 0;
解法二：筛法
筛法需要容器，这个容器要多大呢？由素数定理可以近似求出素数的分布范围。如0～x中有x/lnx个素数，反推即可求出n个素数的分布范围，由于这只是近似，把容器再扩大30%，应该足够了。
求出范围后解法与题目一类似，只需在输出素数时控制输出个数即可。
注：本文借鉴了program_think在CSDN的博客，求解素数的N种境界(N>10)
http://blog.csdn.net/program_think/article/details/7032600
以上是关于素数求解及其优化的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章