1053: [HAOI2007]反素数ant

Posted 2020-11-18 inwill

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Description

 

　　对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x

，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么

？

Input

　　一个数N（1<=N<=2,000,000,000）。

Output

　　不超过N的最大的反质数。

Sample Input

1000

Sample Output

840

 

这里要先知道一个结论：

　　因数的个数=质因数的次方+1的乘积

如：48=2⁴×3¹

则48的因数个数为(4+1)×(1+1)=10，因此48有10个因数

分别为：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48

 

证明：

我们都知道，所有的合数，都能分解为若干质数的乘积，如：48=2*2*2*2*3

而因数正是以乘积的形式联系起来的，刚好满足了我们所要求的东西

那么为什么要+1呢？

其实这里就是一个排列组合问题，还是按48来说，就是还要有2⁰×3¹，2ⁱ×3⁰（0≤i≤4），这种情况，因数还包括了1和48自身

 

还要在小小的理解一下题目g(x)>g(i) 0<i<x

这里就是说，当g(x)==g(i) 0<i<x，这种情况是不成立的，要去较小值i

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 using namespace std;
 4 
 5 #define LL long long
 6 
 7 int dist[20]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31};
 8 int n,ans,num;
 9 
10 void dfs(LL t,int k,int tmp)
11 {
12     if(k==11)
13     {
14         if(tmp>num){ans=t;num=tmp;}
15         if(t<ans&&tmp==num){ans=t;num=tmp;}
16         return;
17     }
18     for(int i=0;i<31;i++)
19     {
20         dfs(t,k+1,tmp*(i+1));
21         t*=dist[k];
22         if(t>n) break;
23     }
24 }
25 
26 int main()
27 {
28     scanf("%d",&n);
29     dfs(1,0,1);
30     printf("%d",ans);
31     return 0;
32 }